实数 x, y 满足 x y - x - y = 1, 求 x^2 + y^2 的最小值

TSC999

下面这个最小值是对的。但是如果约束条件方程不是轮换对称式，这样做题就错了。为何呢？

isee

回复 1# TSC999

题外话：

轮换对称式 的本质 就是约束条件是双曲线关于$y=x$对称么，三个讨论也无非是边界。

直接转化为一元，或者直接高等数学二元求最值不成么？

kuing

为何？不就是因为这样的证法的逻辑根本就是错么……

这证法就相当于由 f(x)>=g(x) 当且仅当 x=x0 取等，就推出 f(x0) 是极值？

facebooker

求导 相切 得到两个等式 其中一个就是y=x  所以是瞎猫碰到死耗子了

这题是不是先因式分解后 双变量换元就行了？还有别的解法吗

其妙

求导 相切 得到两个等式 其中一个就是y=x  所以是瞎猫碰到死耗子了

这题是不是先因式分解后 双变量换元就 ...
facebooker 发表于 2021-3-19 12:06

即便是轮换对称式，得到的答案也可能是错的，谁说轮换对称式取最值一定是变量相等的时候取得最值？反例在这里就不举例了。
易得$(x-1)(y-1)=2$，令$a=x-1$，$b=y-1$，则$ab=2$，且

$x^2+y^2=(a+1)^2+(b+1)^2=a^2+b^2+2(a+b)+2=(a+b)^2+2(a+b)-2=(a+b+1)^2-3$，

由于$ab=2$，则$a>0,b>0$时，$a+b\geqslant2\sqrt2$，此时$x^2+y^2=(a+b+1)^2-3\geqslant{6+4\sqrt3}$；

当$a<0,b<0$时，$a+b\leqslant-2\sqrt2$，$a+b+1\leqslant1-2\sqrt2<0$，此时$x^2+y^2=(a+b+1)^2-3\geqslant{6-4\sqrt3}$；显然第二种情况取最小值，也能取等号。

TSC999

楼上各位大侠都说的对哈！ 即便约束方程是个轮换对称式， 也不见得一定是在  \(x=y\)  时 \(x^2+y^2\) 取得极值。

从数形结合的方法看，\(x^2+y^2=R^2\) 是一个圆，轮换对称的约束方程则是一条以  \(x=y \) 直线为对称轴的二次曲线或高次曲线。看下面例子：



在 A 点有极值，此时 \(x=y\)， 但是 B 点和 C 点也有极值，这两点处 \(x≠y\)。