解不定方程$3^x+4^y=5^z$

abababa

如题，解不定方程$3^x+4^y=5^z$。这个对于非负整数解，我能解出来两个并证明只有这两个：$x=0,y=1,z=1$和$x=y=z=2$，但对于负整数解，会不会有呢？

realnumber

应该不会有，仅一个负的，比如x<0,
令x=-t, 可得$1=(5^x-4^y)3^t\ge 3>1$矛盾
两个负的，比如x<0,y<0,左边小于1，右边大于1，矛盾
三个负的可得$5^{-z}(3^{-x}+4^{-y})=3^{-x}4^{-y}>12$
左边是5的倍数，右边不是,矛盾.

abababa

回复 2# realnumber

三个都是负数时可以全取相反数，然后代入转为正的（见下面的证明），只有一个负的可以根据整数对加法的封闭性知道无解，最关键的就是有两个负的，这个原来是要用不等式控制一下才能解出来，根据楼上的提示，我的证明是这样的：
当$x < 0$时，假设$y\ge0$则$5^z=3^x+4^y>1$，因此必有$z>0$，所以$4^y,5^z$为整数，而$3^x$为分数，无解，所以必有$y<0$，于是$5^z=3^x+4^y<3^{-1}+4^{-1}<1$，所以$z<0$，即$x,y,z<0$。令$(a,b,c)=(-x,-y,-z)$，方程即为$5^c(4^b+3^a)=3^a4^b$，两边模$5$知无解。
当$x>0$时，若$y<0$则左边不是整数，因此右边也不是整数，必有$z<0$，但此时$1>5^z=3^x+4^y>3^x>3$，无解。所以必有$y\ge0$，由整数性知必有$z>0$。
这样就证明了没有负整数解了。