离心率的取值范围

lrh2006

关于a,c的不等式写不出来，请教各位，谢谢！

lrh2006

哪位大咖能指点一下，谢谢谢谢啦！

realnumber

回复 2# lrh2006


    设A（s,t）,$-c<s\le -a$，A在双曲线上及AF1=c,可得离心率范围。
用第二定义会更快$e=\frac{AF_1}{d}=\frac{c}{\frac{a^2}{c}-s}$
$-c<s=\frac{a-c}{e}\le -a$

kuing

`\lceil F_1F_2\rceil` 向上取整？

kuing

`F_1F_2=2c`, `AF_1=c`, `AF_2=2a+c`，由 `F_1F_2>AB` 知 `\angle AF_1F_2` 为锐角，从而
\[(2c)^2+c^2>(2a+c)^2\iff\sqrt5c>2a+c\iff e>\frac2{\sqrt 5-1}=\frac{\sqrt 5+1}2.\]

isee

回复 3# realnumber

第二行的分母准线少了一个负号。

结果是D

也可以用第一定义推导——相当于第二定义的等价式——几何表达式——
连接$AF_2$，记$\angle AF_1F_2=\alpha$，在$\triangle AF_1F_2$中，由余弦定理$$(2a-AF_1)^2AF_2^2=AF_1^2+4c^2-2\cdot AF_1\cdot 2c\cdot \cos alpha\Rightarrow AF_1=\frac {b^2}{a-c\cos \alpha},$$
这其实就是双曲线左焦点，左支上的焦半径公式，此过程具有通性.

依条件等腰梯形$ABF_2F1$的底角$$\alpha\in (0,90^\circ\Rightarrow \cos\alpha\in (0,1),$$

于是$$\cos\alpha=\frac{b^2-ac}{c^2}>0,$$
进一步得$$e>\frac{1+\sqrt 5}2.$$

isee

`F_1F_2=2c`, `AF_1=c`, `AF_2=2a+c`，由 `F_1F_2>AB` 知 `\angle AF_1F_2` 为锐角，从而
\[(2c)^2+c^2>(2a ...
kuing 发表于 2021-3-22 16:46

是哦，直接用锐角+第一定义，还是你高一手~

isee

回复 6# isee


6#数学公式输入有大瑕疵，但由于本质就是5#，不改了

isee

回复 4# kuing


    我倒是觉得，像楼主的这样的老会员亏了，这么多年过去了，公式依然没有学会，只是当作一个解决问题的普通论坛，，，，，，，，

lrh2006

懂了懂了，谢谢楼上各位，你们都太好了，我怎么没想到，哎。。。

lrh2006

回复 9# isee

我没把这里当普通论坛诶，这里是宝藏论坛，只是我修炼不够，我还在凡间，这里是仙界哈哈

lrh2006

回复 4# kuing

kk你是火眼金睛吗？我竟然没有注意到，嘻嘻

kuing

回复 12# lrh2006