四个内心共圆

hbghlyj

P为圆外切四边形ABCD内任意一点,AP,DP分别交BC于N,M.证明:△APD,△MPN,△ABN,△CDM四个三角形的内心共圆.
(这个是mathzwj的百题的第78题)
一些思路
证:设△APD,△MPN,△ABN,△CDM的内心为$I_1,I_2,I_3,I_4$,内切圆半径为$r_1,r_2,r_3,r_4$.则$\frac{I_2N}{I_3N}=\frac{r_2}{r_3},\frac{I_2M}{I_4M}=\frac{r_2}{r_4},\frac{I_1P}{I_2P}=\frac{r_1}{r_2}.$
考虑△MPN,由这个共圆和如下的引理,得到一个关于△MPN和$r_1,r_3,r_4$的代数关系.

引理:
△ABC的内心I分别关于A,B,C位似$k_1,k_2,k_3$倍到$I_1,I_2,I_3$,则$II_1I_2I_3$共圆$\Leftrightarrow s=k_1(s-a)+k_2(s-b)+k_3(s-c)$.其中s是半周长.
证:变形得0=(k1-1)AI*(p-a)/AI+(k2-1)BI*(p-b)/BI+(k3-1)CI*(p-c)/CI.由三弦定理得证.

于是只需证\[r_2(MN+PM+PN)=-r_1(PM+PN-MN)+r_3(-PM+PN+MN)+r_4(PM-PN+MN)\]

用面积重新包装一下:
三角形PMN的内切圆切点为P1,M1,N1.三角形PMN的面积为t2.四边形I1N1PM1,I3P1NM1和I4P1MN1的面积为t1,t3,t4.求证:t1+t2=t3+t4.
去掉两块公共的区域,等价于证
四边形I3P1I2M1和I4P1I2N1的面积之和等于四边形I1M1I2N1的面积.
也就是
I2I3⋅P1M1+I2I4⋅P1N1=I1I2⋅M1N1.
图片发到纯几何吧了,节省一些论坛的空间
链接在这里

hbghlyj

先证：圆L,圆O,圆K有一条公切线。
设圆I,圆L的公切线交ND,MC于U,V,如图标注切点。则引理等价于CD+UV=DU+CV。下列的每一行直接的等式都是等价的
CD+UV=DU+CV
CD+UV+UW+VZ=DU+CV+UA1+VB1
CD+WZ=DA1+CB1
CD+QR=DA1+CB1
CD+QR+AQ+BR=DC1+CD1
CD+AB=AD+BC
而ABCD有内切圆，证毕。
下面只需简易导角即可。
J为△PMN的内心⇒∠(LJ,OJ)=∠(MJ,NJ)=90+∠MPN
P为△KUV的旁心⇒∠(LK,OK)=∠(UL,VK)=90-∠UPV
注意到∠MPN=∠UPV,证毕！