已知 \( x+y+z=1\)，求\( x y+2yz+3zx\) 的最大值

TSC999

已知 \( x+y+z=1\)，求\( x y+2yz+3zx\)  的最大值。
下面是用拉格朗日乘子法解的。如何用柯西不等式方法解此题？
还有哪些比较通用的方法？

TSC999

方法二： 降 元 法。

其妙

$4(xy+2yz+3zx)=6(xy+yz+zx)+2(z-x)y+2zx+4zx$

${\kern 78pt}\leqslant6(xy+yz+zx)+(z-x)^2+y^2+2zx+2x^2+2z^2$

${\kern 78pt}=6(xy+yz+zx)+3z^2+3x^2+y^2$

${\kern 78pt}\leqslant6(xy+yz+zx)+3z^2+3x^2+3y^2$

${\kern 78pt}=3(x+y+z)^2=3$，  

故$xy+2yz+3zx\leqslant\dfrac34$,

当且仅当$y=0$，$z=x=\dfrac12$时取等号。

其妙

方法四（by 包头网友）：

其妙

这是群内马鞍山网友的解答，
以上两种手写解答都是“不等式欣赏研究群”群内两位网友的手写消元配方法解答，
“不等式欣赏研究群”群号为305078297，欢迎加入

isee

$4(xy+2yz+3zx)=6(xy+yz+zx)+2(z-x)y+2zx+4zx$

${\kern 78pt}\leqslant6(xy+yz+zx)+(z-x)^2+y^2+2zx+2x^2+ ...
其妙 发表于 2021-3-28 19:26

这道理是多么的简单，但是又是多么的难凑出

TSC999

hbghlyj

TSC999 发表于 2021-3-28 15:57
已知 $a_1 x+b_1 y+c_1 z=m$, 求 $a_2 x y+b_2 y z+c_2 z x$ 的最大值。

线性约束问题：可以加$\lambda$化为无约束的问题：

第13页

We shall prove that our constrained minimization problem has a unique solution given by the system of linear equations \[ \begin{aligned} C^{-1} y+A \lambda & =b, \\ A^{\top} y & =f, \end{aligned} \] which can be written in matrix form as \[ \left(\begin{array}{cc} C^{-1} & A \\ A^{\top} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y \\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} b \\ f \end{array}\right) . \]Note that the matrix of this system is symmetric. Eliminating $y$ from the first equation \[ C^{-1} y+A \lambda=b, \] we get \[ y=C(b-A \lambda), \] and substituting into the second equation, we get \[ A^{\top} C(b-A \lambda)=f, \] that is, \[ A^{\top} C A \lambda=A^{\top} C b-f . \]However, by a previous remark, since $C$ is symmetric positive definite and the columns of $A$ are linearly independent, $A^{\top} C A$ is symmetric positive definite, and thus invertible.

hbghlyj

TSC999 发表于 2021-3-28 15:57
已知 $a_1 x+b_1 y+c_1 z=m$, 求 $a_2 x y+b_2 y z+c_2 z x$ 的最大值。

$C^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0 & a_2 & c_2 \\ a_2 & 0 & b_2 \\ c_2 & b_2 & 0\end{array}\right)$
根据上面，$a_2 x y+b_2 y z+c_2 z x$有全局最大值$\iff C\preceq0$
而$a_2 x y+b_2 y z+c_2 z x$限制在$a_1 x+b_1 y+c_1 z=m$上有最大值$\iff\pmatrix{a_1&b_1&c_1}C\pmatrix{a_1\\b_1\\c_1}\preceq0$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-8 20:53
However, by a previous remark, since $C$ is symmetric positive definite and the columns of $A$ are linearly independent, $A^{\top} C A$ is symmetric positive definite, and thus invertible.

补充这个的证明：

If $C$ is a symmetric positive definite $m \times m$ matrix and $A$ is an $m \times n$ matrix of rank $n$ (and so $m \geq n$), then $A^{\top} C A$ is symmetric positive definite.

math.mit.edu/~gs/dela/delasol_ch7.pdf


特别地，取$C$为单位矩阵，就得到「$A^\top A$正定」这个结论

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设$\ker A=\{0\}$，
$A^{\top} C A$正定等价于$C$限制在$\operatorname{Im}A$上正定。
$C$正定，则$C$限制在$\operatorname{Im}A$上正定，即$A^{\top} C A$正定。
反之，$A^{\top} C A$正定，即$C$限制在$\operatorname{Im}A$上正定，不能推出$C$正定。所以有可能$Q(y)=\frac{1}{2} y^{\top} C^{-1} y-b^{\top} y$限制在平面$A^\top y=f$上有最小值但无全局最小值。