反比例函数下的中考几何题

isee

如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝k/x (k＞0，x＞0)的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若OD＝3，OC＝5，则k的值为___7.5___．


当然，到角公式直接就秒了，若限定在中考，这几何题还是挺难的

hbghlyj

以下转载自 题拍拍 陈伊 的解答
设P在x轴,y轴,AB上的投影为N,M,Q.∵AP平分∠MAB,∴∠MAP=∠BAP.在△PAM与△PAQ中,∠PMA=∠PQA,∠MBP=∠BAP,AP=AP,∴△PAM≅△PAQ(AAS).∴MA=QA,PM=PQ.同理△PBN≅△PBQ,∴NB=QB,PN=PQ.设PM=m,则PM=PQ=PN=m,故四边形ONPM为正方形.设OA=b,OB=c,则AM=m=b,BM=m-c.AB=AQ+BQ=MA+BN=2m-b-c①.在△AQB中,∠AOB=90°,∴$OA^2+OB^2=AB^2,$即$b^2+c^2=(2m-b-c)^2$.又∠PMA=∠PAO=90°,∠MAP=∠OAC,OC=5.∴△AOC~△APM,∴$\frac{AO}{AM}=\frac{OC}{MP}$,即$\frac b{m-b}=\frac5m$,得$b=\frac{5m}{5+m}$②.同理,△OBD≅△NBP,$\frac{BD}{BN}=\frac{OD}{PN}$.由OD=3,$\frac{c}{m-c}=\frac3m$,得$c=\frac{3m}{3+m}$③.由①知$4m^2=4mb+4mc-2bc,$即$2m^2+bc=2m(b+c)$.把②③代入得$2m^2+\frac{15m^2}{(5+m)(3+m)}=2m\left(\frac{5m}{5+m}+\frac{3m}{3+m}\right)$,解得$m^2=\frac{15}2$,故$k=m^2=\frac{15}2$.

hbghlyj

总之就是
P为AOB的旁心, 旁切圆P的半径为r,则$2r^2=OC⋅OD$.

色k

总之就是
P为AOB的旁心, 旁切圆P的半径为r,则$2r^2=OC⋅OD$.
hbghlyj 发表于 2021-3-29 00:40

我也是这样猜的，就是证不出来感觉应该会有很简单的方法。

hbghlyj

回复 3# hbghlyj
直接计算也很简单的.设AO=a,BO=b,AB=c,则$OC=\frac{ab}{c-a},OD=\frac{ab}{c-b}$.而$r=\frac{2ab}{a+b-c}$.
只需证$\frac{a^2b^2}{c^2-(a+b)c+ab}=2\left(\frac{ab}{a+b-c}\right)^2⇔(a+b-c)^2=2(c^2-(a+b)c+ab)$.
显然成立.

hbghlyj

捂脸~~
由△COP~△POD得$CO⋅DO=PO^2=2r^2$

isee

回复 4# 色k


哈哈哈哈哈， hbghlyj 在 6#已揭晓

hbghlyj

回复 7# isee
......6楼应该是出题人的方法

色k

果然有秒法