三元不等式

hbghlyj

(1)a,b,c>0,求证\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq3\sqrt[3]{\frac{abc\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\](2)a,b,c>0,bc+ca+ab≠0,求证\[\frac{(a-b)^2}{a+b}+\frac{(a-c)^2}{a+c}+\frac{(b-c)^2}{b+c}\geq\sqrt[3]{\frac{24\sqrt{3}(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}}\]

kuing

(1)`\LHS=\frac 12\sum (a-b)^2\geqslant \frac 32\sqrt[3]{\prod (a-b)^2}\geqslant \RHS`

hbghlyj

回复 2# kuing
谢谢.
这个题是这样来的:
$\LHS=\sum\frac{{(a-b)}^2(a+b)c}{(a+c)(b+c)}\ge\RHS$.

kuing

回复 3# hbghlyj

圆奶乳齿……

但第二题好像很难，看取等就有点不敢撸：`a:b:c=0:1:(\sqrt3\pm\sqrt2)`……