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kuing
posted 2021-4-26 22:29
不完全去分母也行:
因为
\[\frac a{ab+bc+ca}-\frac a{a^2+2bc}=\frac{a(a-b)(a-c)}{(ab+bc+ca)(a^2+2bc)},\]所以原不等式等价于
\[\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+2bc}+\frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+2ca}+\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+2ab}\geqslant0,\]不妨设 `c=\min\{a,b,c\}`,则上式第三个分式非负,而前两个分式之和为
\[\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+2bc}+\frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+2ca}=\frac{(a-b)^2c(2a^2+2b^2-2ac-2bc+3ab)}{(a^2+2bc)(b^2+2ca)},\]显然也非负,所以不等式成立。
这样计算量就小多了,不过仍然不够美…… |
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