$a\mid b\mid c$，则集合$\frac{c}{b}$=集合$x|\frac{c}{a}$

abababa

如题，给定两个正整数$a,c$，正整数$b$满足$a\mid b,b\mid c$，求证集合$\{\frac{c}{b}: a\mid b,b\mid c\}\cup\{1\}=\{x:x\mid\frac{c}{a}\}$
比如$a=2,c=12$，这时满足条件的$b$有$2,4,6$三个，前一个集合就是$\{6,3,2\}$，后一个集合就是$\{x:x\mid 6\}=\{1,2,3,6\}$

根据2、3楼的提示，将上面原来的求证，改为：求证集合$\{\frac{c}{b}: a\mid b,b\mid c\}=\{x:x\mid\frac{c}{a}\}$。示例$a=2,c=12$的情况也需要作相应的修改。

tommywong

$a=2,c=12$時,b可以是12
$\{\frac{c}{b}:a\mid b,~b\mid c\}=\{x:a\mid\frac{c}{x},~\frac{c}{x}\mid c\}
=\{x:x\mid\frac{c}{a},~x\in\mathbb{Z}\}$

kuing

的确不需要 ∪{1} 也不应该并，这样 a 不整除 c 时两边都为空集，等式仍然成立。

当 a|c 时才存在 b，设 c=a·2^n1·3^n2·5^n3·…，则
{b : a|b,b|c} = {a·2^x1·3^x2·5^x3·… : 0<=xi<=ni}
故
{c/b : a|b,b|c} = {2^(n1-x1)·3^(n2-x2)·5^(n3-x3)·… : 0<=xi<=ni}
                       = {2^y1·3^y2·5^y3·… : 0<=yi<=ni}
另一方面显然
{x : x|c/a} = {2^x1·3^x2·5^x3·… : 0<=xi<=ni}
所以 {c/b : a|b,b|c} = {x : x|c/a}

abababa

回复 2# tommywong
这里就是第一个等号处，两个集合相等我弄不明白，拿几个具体的数试验时知道是这么回事，就是写不清证明。

回复 3# kuing
谢谢，这个证明我看懂了。

tommywong

回复 4# abababa

$x=\frac{c}{b}$