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hbghlyj
Post time 2022-12-10 03:06
中国国家数字图书馆
2001年 第11期 数学通报 数学问题解答.pdf
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2001年 第11期 数学通报 第48-49页
1344 若 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为满足条件 $a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}$的正数.
求证：对任何 $n∈\Bbb N$ 有\begin{equation}\frac{1}{a_{1}+n-1}+\frac{1}{a_{2}+n-1}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+n-1} \leqslant 1\end{equation}
（南昌大学附中 宋庆 330029）
2001年 第12期 数学通报 数学问题解答.pdf
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2001年 第12期 数学通报 第43-45页
证明 $n=1$ 时易知（1）式成立．
下面证明 $n≥2$ 时（1）式成立.
因为\begin{align*} & \frac{1}{a_{i}+{n}-1}+\frac{1}{\frac{1}{a_{i}}+{n}-1} \\ = & \frac{1}{a_{i}+{n}-1}+\frac{a_{i}}{(n-1) a_{i}+1} \\ = & \frac{a_{i}^{2}+2(n-1) a_{i}+1}{(n-1) a_{i}^{2}+\left(n^{2}-2 n+2\right) a_{i}+n-1} \\ = & \frac{2\left[a_{i}^{2}+2(n-1) a_{i}+1\right]}{n\left[a_{i}^{2}+2(n-1) a_{i}+1\right]+(n-2)\left(a_{i}-1\right)^{2}} \\ \leqslant & \frac{2}{n}\quad(i=1,2, \cdots, n)\end{align*}所以$$\frac{1}{a_{i}+{n}-1}+\frac{1}{\frac{1}{a_{i}}+{n}-1} \leqslant \frac{2}{n}\quad(i=1,2, \cdots, n)$$以上 $n$ 式相加便得\begin{equation}
\frac{1}{a_{1}+{n}-1}+\frac{1}{a_{2}+{n}-1}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+{n}-1} +\frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+{n}-1}+\frac{1}{\frac{1}{a_{2}}+{n}-1}+\ldots+\frac{1}{\frac{1}{a_{n}}+{n}-1} \leqslant 2 .
\end{equation}假设对满足$a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}$的正数$a_1,a_2,\cdots,a_n$成立$$\frac{1}{a_{1}+n-1}+\frac{1}{a_{2}+n-1}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+n-1}>1$$则对此式作变换 $a_i → 1/a_i$（在该变换下,条件不变）可得$$\frac{1}{\frac1{a_1}+n-1}+\frac{1}{\frac1{a_2}+n-1}+\ldots+\frac{1}{\frac1{a_n}+n-1}>1$$将以上两个不等式相加,即得\[
\frac{1}{a_{1}+{n}-1}+\frac{1}{a_{2}+{n}-1}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+{n}-1} +\frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+{n}-1}+\frac{1}{\frac{1}{a_{2}}+{n}-1}+\ldots+\frac{1}{\frac{1}{a_{n}}+{n}-1} > 2 .\]这与（2）式矛盾, 故此时不等式（1）成立． |
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kuing
Post time 2021-4-6 23:37
色k
Post time 2021-4-12 01:31
