函数方程的最小值

敬畏数学

定义在$(0，+\infty )  $上的减函数$ f(x) $,对任意的$ x∈(0,+\infty ) $均满足$ f(x)\cdot f(f(x)+\dfrac{3}{2x})=\dfrac{1}{4} $，则$ g(x)=f(x)+3x $的最小值______。

kuing

老题改编

令
\[h(x)=f(x)+\frac3{2x},\]条件即
\[f(x)f(h(x))=\frac14,\]进而
\[f(h(x))f(h(h(x)))=\frac14,\]故
\[f(x)=f(h(h(x))),\]而 `f` 单调，故
\[x=h(h(x))=f(h(x))+\frac3{2h(x)}=\frac1{4f(x)}+\frac3{2h(x)}=\frac1{4f(x)}+\frac3{2\left( f(x)+\frac3{2x} \right)},\]解得
\[f(x)=\frac3{4x},\]下略。

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