$\abs{f(x_1)-f(x_2)}\le\abs{x_1-x_2}$

abababa

设$f(x)=\abs{x},x\in[-1,1]$，且$f(x+2)=f(x)$，求证$\abs{f(x_1)-f(x_2)}\le\abs{x_1-x_2}$。

当$\abs{x_1-x_2}\ge1$时是显然的，当$\abs{x_1-x_2}<1$时，从图像上看也是显然的，但用代数的方法要怎么证呢？

从图像上看，当$\abs{x_1-x_2}<1$时，$x_1,x_2$或者都在同一上坡，或者都在同一下坡，或者一上一下，前两种情况都能设$x_1=k+b_1,x_2=k+b_2$，其中$k$是整数而$0\le b_1,b_2<1$，这样因为$x_1,x_2$都在同一上下坡，所以$f(x_1)-f(x_2)=b_1-b_2=x_1-x_2$，就证明完了。后一种情况不妨设$x_1<x_2$且$x_2$在上坡，再设$x_1=k-b_1,x_2=k+b_2$，其中$0\le b_1,b_2<1$，也有$f(x_2)-f(x_1)=b_2+b_1=x_2-x_1$。不依靠图像而用代数法要怎么说清这个证明呢？

kuing

设 `x_1=2m+r_1`, `x_2=2(m-n)+r_2`，其中 `m`, `n\inZ`, `r_1`, `r_2\in[-1,1]`。
由周期为 `2` 可知 `f(x_1)-f(x_2)=f(r_1)-f(r_2)=\abs{r_1}-\abs{r_2}`，所以不等式等价于
\[\bigl|\abs{r_1}-\abs{r_2}\bigr|\leqslant\abs{2n+r_1-r_2},\]当 `n=0` 时显然成立，当 $n\ne0$ 时
\[\RHS\geqslant2\abs n-\abs{r_1}-\abs{r_2}\geqslant2-\abs{r_1}-\abs{r_2},\]只需证
\[\bigl|\abs{r_1}-\abs{r_2}\bigr|+\abs{r_1}+\abs{r_2}\leqslant2,\]显然成立。

abababa

回复 2# kuing

谢谢，最后一个显然成立，是根据什么啊？这个不是绝对值不等式那个$\abs{a}+\abs{b}\ge\abs{a+b}$的吧，感觉类似$\abs{x_1}+\cdots+\abs{x_n}$，然后取在端点处时得最大值的那个，一时还没想起来。

kuing

回复 3# abababa

左边=2|r1|或2|r2|

abababa

回复 4# kuing

原来如此，我竟然没想到最基本的去掉绝对值。

isee

设$f(x)=\abs{x},x\in[-1,1]$，且$f(x+2)=f(x)$，求证$\abs{f(x_1)-f(x_2)}\le\abs{x_1-x_2}$。

当$\abs{x ...
abababa 发表于 2021-4-20 21:21

直接把具体表达式代入，分析法，结论平方，不就是$$\abs{x_1x_2}\geqslant x_1x_2,$$这不是显然的么？那个周期啥用？

isee

设 `x_1=2m+r_1`, `x_2=2(m-n)+r_2`，其中 `m`, `n\inZ`, `r_1`, `r_2\in[-1,1]`。
由周期为 `2` 可知 `f(x ...
kuing 发表于 2021-4-20 22:10

哦，根据这个解答，那周期似乎要将变量拉到[-1,1]上用的

abababa

回复 7# isee

是的，就是得变换到最基础的那个区间里，然后就好证明了。有的题一看图像觉得很直观，但就是不好证明。比如我最近还遇到一个连续下凸函数$f(x)$上取三点$x_1<x_2<x_3$，证明$\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\ge f'(x_2)\ge\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$，从图形上看就是割线的斜率和切线的斜率，马上就出来了，但是代数证明就感觉有点困难，是和琴生不等式、拉格朗日中值定理有点关系吧。