求一个二元代数式的最大值

lemondian

已知$a,b$为正数，求$\dfrac{7ab}{a^2+49b^2}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}$的最大值。

kuing

作置换 `b\to b/\sqrt7`，变为
\[\frac{\sqrt7ab}{a^2+7b^2}+\frac{\sqrt7ab}{7a^2+b^2},\]然后见 forum.php?mod=viewthread&tid=6379#pid33024 的 9#。

isee

作置换 `b\to b/\sqrt7`，变为
\[\frac{\sqrt7ab}{a^2+7b^2}+\frac{\sqrt7ab}{7a^2+b^2},\]然后见  的 9#。 ...
kuing 发表于 2021-4-23 17:51

链接中这个换元厉害了

给定正数 $k$，有
$$\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}=\frac{k+1}{ka+\frac{(k-1)^2}a},$$其中
$$a=\frac xy+\frac yx\in[2,+\infty),$$

lemondian

回复 3# isee
请问链接中：@kuing,@isee
（1）当$(k-1)^2<4k$，即$3-2\sqrt{2}<k<3+2\sqrt{2}$时，如何说明:当$a=2$时，取最大值？

（2）当$(k-1)^2\geqslant 4k$，即$0<k\leqslant 3-2\sqrt{2}或k\geqslant 3+2\sqrt{2}$时，这个应该是均值不等式，可得相应的最大值。
如何有“条理”地得到$(k-1)^2\geqslant 4k$这个不等式？（有点想得到的意思，却不知如何写出来的感觉）

kuing

分母是 a 的双勾函数啊，这点基本功都要详写？