这道不等式恒成立求擦参数取值范围

3251小王子

已知$ a,b,c $为实数\[a^2+b^2+c^2=1  \]

\[ a^3+b^3+c^3 -\lambda abc\leqslant 1\]
求$ \lambda  $的最小值

3251小王子

经检验可以证明$ \lambda =3\sqrt{3} -3$是成立的

kuing

以前在《撸题集》P.897 题目 6.7.10 里暴力配方证明过 `\lambda=-3(\sqrt3-1)`（已经忘了具体怎么操作的了……

3251小王子

嗯嗯是的 但是根据推导过程取值还可以更小

3251小王子

有人吗？可以帮忙解决一下吗

色k

回复 4# 3251小王子

你是不是只看了题目 6.7.9 没看题目 6.7.10 ？

3251小王子

回复 6# 色k


    我的意思是想找到参数的最小值，很明显可以比3倍根号3-3更小

kuing

回复 7# 3251小王子

……\[a^2+b^2+c^2=1\]\[ a^3+b^3+c^3 -\lambda abc\leqslant 1\]求$ \lambda  $的最小值

首先 你问的这 `\lambda` 前是减号，所以对应于我书上的：

那就是 `\lambda=-3(\sqrt3-1)`（`<0`），而不是 `\lambda=3\sqrt3-3`；

其次 当 `a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}` 时 `a^3+b^3+c^3 -\lambda abc\leqslant 1\iff \dfrac{3-\lambda}{3\sqrt3}\leqslant 1\iff \lambda\geqslant-3(\sqrt3-1)`，所以 `\lambda=-3(\sqrt3-1)` 就是最小值。

3251小王子

回复 8# kuing


不好意思看错了 谢谢版主 感谢