给初中生出了一题,求最大值

realnumber

本来是这个 f(x)=min{$\frac{1}{x},x$},x>0,被鄙视不够难.


再这个$x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{1}{x}+\frac{1}{y},\frac{1}{x}+y,x+\frac{1}{y},x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
还是被暴力破解了2



$x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{2}{x}+\frac{4}{y},\frac{2}{x}+y,3x+\frac{2}{y},2x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
这个系数凑好了.4

胡乱改了个系数,怎么做?
$x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{2}{x}+\frac{1}{y},\frac{1}{x}+y,2x+\frac{1}{y},2x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
好吧,这个不会,似乎不是$1+\sqrt{2}$

kuing

乱改题有风险

$x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{2}{x}+\frac{1}{y},\frac{1}{x}+y,2x+\frac{1}{y},2x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.

这题结果应该是 `\frac{3+\sqrt5}2`……

kuing

回复 2# kuing

记
\[m=\min\left\{ \frac2x+\frac1y,\frac1x+y,2x+\frac1y,2x+y \right\},\]然后分类讨论：

（1）若 `y\leqslant1`，则有
\begin{align*}
m&\leqslant\frac1x+y\leqslant\frac1x+1,\\
m&\leqslant2x+y\leqslant2x+1,
\end{align*}而易知 `\min\{1/x,2x\}\leqslant\sqrt2`，所以有 `m\leqslant\sqrt2+1`；

（2）若 `x\geqslant1`，则有
\begin{align*}
m&\leqslant\frac2x+\frac1y\leqslant2+\frac1y,\\
m&\leqslant\frac1x+y\leqslant1+y,
\end{align*}如果 `m\leqslant1` 那就不用管它，当 `m>1` 时就有
\[m\leqslant2+\frac1y\leqslant2+\frac1{m-1}\riff m\leqslant\frac{3+\sqrt5}2;\]

（3）当 `y>1>x` 时，显然
\[m=\min\left\{ \frac1x+y,2x+\frac1y \right\},\]下面采用反证法，假设存在 `x`, `y` 满足
\[\led
\frac1x+y&>\frac{3+\sqrt5}2,\quad(a)\\
2x+\frac1y&>\frac{3+\sqrt5}2,\quad(b)
\endled\]由式 (b) 得
\[x>\frac{3+\sqrt5}4-\frac1{2y}>0,\]代入式 (a) 得
\[\frac1{\frac{3+\sqrt5}4-\frac1{2y}}+y>\frac{3+\sqrt5}2,\]解得
\[y>\frac{1+\sqrt5}2\iff\frac1y<\frac{\sqrt5-1}2,\]又代回式 (b) 得
\[2x+\frac{\sqrt5-1}2>\frac{3+\sqrt5}2,\]即 `x>1`，与前提不符！所以假设不成立，从而必有 `m\leqslant\frac{3+\sqrt5}2`。

综上所述，有 `m\leqslant\frac{3+\sqrt5}2`，而当 `x=1`, `y=\frac{1+\sqrt5}2` 时能够取等，所以这就是所求最大值。

PS1、其实（3）也可以正面分析，但写起来好像麻烦点。
PS2、这题虽然楼主说是胡乱改来的，但其实系数还算好了，如果再随便一点，估计得分更多的类……

kuing

楼主能否写一下前两个的过程……

realnumber

回复 4# kuing


    $x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{2}{x}+\frac{4}{y},\frac{2}{x}+y,3x+\frac{2}{y},2x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
这个系数凑好了.4
分类,注意观察到(x,y)=(1,2)时,括号内四项都相等,等于4.
这样分类,当x>1,$y\ge 2$时,$\frac{2}{x}+\frac{4}{y}<4$
x>1,y<2也一样,也有某项小于4了,...,说明仅在(x,y)=(1,2)时,4最大
(分类时过(1,2)画了两条坐标轴垂线,马上就领会了)


下课前一刹那
今天什么日子，两个班级，居然都猜到了
先这个$x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{1}{x}+\frac{1}{y},\frac{1}{x}+y,x+\frac{1}{y},x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
关键是猜到(x,y)=(1,1)
乘机分四类证明（1）x>1,y>1  ，（2）.......
第二题.   $x>0,y>0,f(x,y)$=min{$\frac{2}{x}+\frac{4}{y},\frac{2}{x}+y,3x+\frac{2}{y},2x+y$  },求$f(x,y)_{max}$.
也猜到了（x,y）=(1,2)，证明自然也学会了.
然而猜中的毕竟2，3个人，领会的估计20来个，模模糊糊在跟着的也有20来人，余下的3~5个继续睁眼闭眼睡不醒的样子，根本没有被
那些兴奋的声音吵醒.不了解真真原因，无法谈解决办法，其实以后了解了，很可能是参与不了的，...，不是后来有选拔上特种兵的例子吗？

kuing

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