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isee
Post time 2021-5-6 19:18
本帖最后由 isee 于 2021-5-8 00:19 编辑 回复 5# longma
接着说5#的方向（求点$C$的方程——直接整不等式，没那本事儿)。
不论怎么化简，最终得到的结果有二\[x_0x+y_0y=3x-4,x_0^2+y_0^2=1\]另一个是\[x^2+y^2-6x=1-6x_0,\label{eq06}\tag{01}\]解析难度——理论上可以硬解出`x_0`——远远超过了我的预期。*********************
这个一次`x_0`很糟心——可跳过接后面（=======）内容——，从几何上找到的出路是这样的，记正三角形`ABC`的边长为`a`，`\angle ABx=\theta`，则对点`A`有\[\left\{\begin{aligned}x_0&=3+a\cos\theta \\ y_0&=a\sin\theta\end{aligned}\right. \]
于是点`C`的坐标可表示为\[\left\{\begin{aligned}x&=3+a\cos(\theta-60^\circ) \\ y&=a\sin(\theta-60^\circ)\end{aligned}\right. \]
展开消去`a\cos\theta,a\sin\theta`，便是8#倒数第二个结果，这两式再消`y_0`得到\[x_0=\frac x2-\frac {a\sqrt 3y}2+\frac 32\]代入\eqref{eq06}整理即是点`C`的方程。
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接*********************之前的内容。
也曾想到将`x_0-3`整体处理，但能力有限，受12# kuing 的启发，以及7#“（不用解方程，而用巧妙的变形）”这个要求，可以利用著名恒等式\[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\]做桥梁。
不拆开`x_0-3`，5#的向量内积即\[{\color{red}{(x-3)(x_0-3)+yy_0}}=\frac 12\bigg((x-3)^2+y^2\bigg)=\frac M2,M=(x-3)^2+y^2.\label{eq07}\tag{02}\]
再由5#第一个式子有\[\bigg((x-3)^2+y^2\bigg)\bigg((x-3)^2+y^2\bigg)=\bigg((x_0-3)^2+y_0^2\bigg)\bigg((x-3)^2+y^2\bigg)=\bigg({\color{red}(x-3)(x_0-3)+yy_0}\bigg)^2+\bigg((x_0-3)y-y_0(x-3)\bigg)^2.\]
将\eqref{eq07} 代入上式，化简即\[\frac {3M^2}4=\bigg((x_0-3)y-y_0(x-3)\bigg)^2.\]
左边显然是三角形`ABC`面积的平方，则右边是三角形的（坐标系下的三点坐标表达）解析表达式，不妨设`ABC`是逆时针的，则（其实直接带`\pm`就OK，没影响)\[-y(x_0-3)+(x-3)y_0=\frac {\sqrt 3M}2.\label{eq08}\tag{03}\]
联立\eqref{eq07}，\eqref{eq08}两式消`y_0`，解得\[M(x_0-3)=\frac {M(x-3)}2-\frac {\sqrt 3My}2\]即\[x_0=\frac x2-\frac {a\sqrt 3y}2+\frac 32\]代入\eqref{eq06}整理即是点`C`的方程。
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刚看到5#的这个点积觉得很突兀的，直接三边相等，或者利用（三线合一）高与对应边的积为零，不是好了。不过，如此一看，点积，叉积这个“配合”打得好，除复数+向量之外的好解。
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最后附上文字题目：点`A`为单位圆上的任意一点，`B(3,0)`，若三角形`ABC`为正三角形（这里不妨设`A,B,C`逆时针排列）,求`OC`的最大值。 |
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色k
Post time 2021-5-5 13:13
kuing
Post time 2021-5-7 16:09
