闭区间上一致收敛的连续函数列，极限函数也连续。

abababa

如题，给定闭区间$[a,b]$上的连续函数列$f_n(x)$，若$f_n(x)$一致收敛到$f(x)$，则$f(x)$也是连续函数。
我的证明如下：

由一致收敛的定义，对任意给定的$\varepsilon>0$都存在$N$，使得只要$n>N$就有：对任意的$x\in[a,b]$都有$\abs{f_n(x)-f(x)}<\varepsilon$，对任意的$c\in[a,b]$也有$\abs{f_n(c)-f(c)}<\varepsilon$。
由于$f_n(x)$在点$x=c$处连续，由连续的定义，对前面给定的$\varepsilon>0$存在$\delta>0$，使得只要$\abs{x-c}<\delta$就有$\abs{f_n(x)-f_n(c)}<\varepsilon$。
结合前面的证明，就存在$N$和$\delta>0$，使得只要$n>N$且$\abs{x-c}<\delta$，就有
\[\abs{f(x)-f(c)}\le \abs{f(x)-f_n(x)}+\abs{f_n(x)-f_n(c)}+\abs{f_n(c)-f(c)}<3\varepsilon\]
因此$f(x)$在点$c$处连续。由$c$的任意性得到$f(x)$在$[a,b]$上连续。

但我的证明在哪里使用了闭区间$[a,b]$的性质呢？换成开区间命题还对不对？我是不是哪里证明得不对？

Czhang271828

$(C(\Omega),d_\infty)$ 为 Banach 空间.

abababa

Czhang271828 发表于 2022-5-23 21:04
$(C(\Omega),d_\infty)$ 为 Banach 空间.

这里$\Omega$要求紧致吗？但如果不是巴拿赫空间，不一定没有主楼的性质啊。现在我觉得如果是开区间，那换成连续函数列内闭一致收敛，极限函数也是连续的。

Czhang271828

abababa 发表于 2022-5-23 21:21
这里$\Omega$要求紧致吗？但如果不是巴拿赫空间，不一定没有主楼的性质啊。现在我觉得如果是开区间，那换 ...

不要求, 主楼开区间下的情形就是对的啊

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Uniform_limit_theorem