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如题，给定闭区间$[a,b]$上的连续函数列$f_n(x)$，若$f_n(x)$一致收敛到$f(x)$，则$f(x)$也是连续函数。
我的证明如下：
由一致收敛的定义，对任意给定的$\varepsilon>0$都存在$N$，使得只要$n>N$就有：对任意的$x\in[a,b]$都有$\abs{f_n(x)-f(x)}<\varepsilon$，对任意的$c\in[a,b]$也有$\abs{f_n(c)-f(c)}<\varepsilon$。
由于$f_n(x)$在点$x=c$处连续，由连续的定义，对前面给定的$\varepsilon>0$存在$\delta>0$，使得只要$\abs{x-c}<\delta$就有$\abs{f_n(x)-f_n(c)}<\varepsilon$。
结合前面的证明，就存在$N$和$\delta>0$，使得只要$n>N$且$\abs{x-c}<\delta$，就有
\[\abs{f(x)-f(c)}\le \abs{f(x)-f_n(x)}+\abs{f_n(x)-f_n(c)}+\abs{f_n(c)-f(c)}<3\varepsilon\]
因此$f(x)$在点$c$处连续。由$c$的任意性得到$f(x)$在$[a,b]$上连续。
但我的证明在哪里使用了闭区间$[a,b]$的性质呢？换成开区间命题还对不对？我是不是哪里证明得不对？ |
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Czhang271828
发表于 2022-5-23 21:04
hbghlyj
发表于 2022-9-24 07:36
