向量模之和最值问题

敬畏数学

向量$\vv{a},\vv{b}$的夹角为60°，向量$\vv{c} $满足$ |\vv{b} -\vv{c}|=1$，$ \dfrac{\vv{a}+\vv{b}}{|\vv{b}|} = \dfrac{\vv{a}+\vv{c}}{|\vv{c}|} $，则有：（A）$ |\vv{b}|+|\vv{c}|< 2$;(B)$ |\vv{a}|+|\vv{b}|>2$；（C）$  |\vv{b}|<1 $;（D）$  |\vv{a}|>1 $

kuing

构图还是挺容易的：

如图，两个平行四边形，由条件得 `OD:OB=OE:OC`，而显然 `OD:OB=OE:OF`，于是 `OC=OF`，再由 `60\du`，得到 `\triangle OCF` 为等边三角形。

从上图就可以看到 C 错，实际上应该反向，而 `OA` 可以很小，如下图：

此时可以排除掉 B、D，剩下 A，也是易证的。

isee

构图还是挺容易的：

如图，两个平行四边形，由条件得 `OD:OB=OE:OC`，而显然 `OD:OB=OE:OF`，于是 `OC=OF` ...
kuing 发表于 2021-5-7 23:42

这题挺好玩的，这图比我好，我化归成三点共线了，仅有个思想，还未有解法

kuing

令 `\bm a=(a,0)`, `\bm b=(b\cos 60\du,b\sin 60\du)`, `\bm c=(c\cos \theta ,c\sin \theta )`，
故由条件得 `(a/b+\cos 60\du,\sin 60\du)=(a/c+\cos \theta ,\sin \theta )`，
故 `\sin 60\du=\sin \theta`，如果 `\theta=60\du`，则得到 `\bm b=\bm c` 与条件矛盾，从而 `\theta=120\du`，
于是 `a/b+1/2=a/c-1/2`，即 `1/a+1/b=1/c`（当然这在 2# 图中在 `\triangle OAD` 用张角定理也可得出）。
然后 `\abs{\bm b-\bm c}=1` 即 `b^2-bc+c^2=1`，这样也显然得出 A 对。

敬畏数学

回复 4# kuing
感谢。