卡西尼卵形线性质考察

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天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）在平面直角坐标系中，设定点为 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，点 $O$ 为坐标原点，动点 $P(x, y)$ 满足 $\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|=a^2$（$a \geq 0$ 且为常数），化简得曲线 $E: x^2+y^2+c^2=\sqrt{4 x^2 c^2+a^4}$．下列四个命题中，正确命题的序号是（将你认为正确的命题的序号都填上）
（1）曲线 $E$ 既是中心对称又是轴对称图形；
（2）当 $a=c$ 时，$|P O|$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$；
（3）$\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|$ 的最小值为 $2 a$；
（4）$\triangle F_1 P F_2$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2} a^2$．
怎么样解答才是恰当的呢？

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有人给出了如下的答案：①②③，并给出了如下的解释。


参考答案是①②④。

请大师们看看！

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按函数性质来看，显然，①是对的。

按基本不等式和三角函数的最值来看，③和④都是正确的。

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言人人殊。还是请大师们帮忙分析一下吧。

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个人觉得，a≥c，③才能是正确的。

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    现在的问题是②是不是正确的。

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感觉②所述的最大值未必存在，但一定有最小值，这个最小值为0。

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经验证②是存在的，当P在F1F2的延长线上，且P位于F1或F2外的根号2a-a处，正好符合。所以，存在最大值根号2a。

isee

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    现在的问题是②是不是正确的。
走走看看 发表于 2021-5-10 16:02

对的，硬化，把`x^2+y^2`化为关于`x`的式子(实际是`x^2`)，在化简的过程中，会得到`x^2`的范围

另外，2011年北京卷，数学，考过类似的，可以参考

isee

回复 9# isee

这个`x`的范围还是有点难，简单写一下吧.

命题：平面内一动点`P`到两定点`F_1(-c,0)`，`F_2(c,0)`距离之积为定值`\abs{PF_1}\cdot \abs{pF_2}=a^2(a\geqslant 0)`，则点`P`的轨迹为卡西尼卵形线.

其方程为\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2\]此曲线显然分别关于`x`轴，`y`轴，原点对称.

由于`\triangle PF_1F_2`的面积最大值为`\frac 12a^2`，由此可知\[\abs{y_p}\leqslant \frac {a^2}{2c}.\]

考察点`P`在第一象限时，将横坐标视为定值`\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(x-c)^2+y^2}`关于`y>0`是递增的，于是\[a^2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(x-c)^2+y^2}>\sqrt{(x+c)^2+0^2}\sqrt{(x-c)^2+0^2}=\abs{x^2-c^2}\]即\[c^2-a^2<x^2<c^2+a^2,\]
由图形的对称性知，图形是”封闭的“，在`\abs{y_p}\leqslant \frac {a^2}{2c},c^2-a^2\leqslant x^2\leqslant c^2+a^2`矩形之内.

于是\[\abs{OP}^2=x^2+y^2=\sqrt{4c^2x^2+a^4}-c^2\leqslant a^2+c^2.\]

下略

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    很好！

isee

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把原2#的解析回复删除了（至少要删除图片），误人子弟，辣人眼儿