绝对值三次指数函数最值问题

敬畏数学

$ f(x)=2^x,g(x)=x^3+ax $，关于$ x $不等式$ f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\geqslant 2x^2 $在$[0,+\infty ]$恒成立，求$ a的范围 $

isee

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盲猜一下，这两图象`y=2^x`，`y=x^2`是确定的，然后从图象缝隙画`g`，猜`x=2`时“分界”，此时`a=-2`

kuing

条件即 `\max\{2^x,x^3+ax\}\geqslant x^2`，
易知当 `x\in[0,2]\cup[4,+\infty)` 时 `2^x\geqslant x^2`，此时不等式一定成立；
当 `x\in(2,4)` 时 `2^x<x^2`，于是必须 `x^3+ax\geqslant x^2`，即 `a\geqslant x-x^2` 恒成立，易得 `a\geqslant-2`。

敬畏数学

两位的解答非常精彩，谢谢。