钝角三角形的不等式

hbghlyj

求最大的正实数k,使得对任意钝角三角形的三边a,b,c都有$a^6+b^6+c^6\ge k\cdot a^2b^2c^2$.

isee

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答案是多少？

isee

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这小子楼主可能被隔离了，哈哈哈哈哈哈哈

kuing

回复 2# isee

很简单的题啊……不妨设 `c` 为最大边，有
\[a^6+b^6+c^6\geqslant\frac14(a^2+b^2)^3+c^6,\]以及
\[a^2b^2c^2\leqslant\frac14(a^2+b^2)^2c^2,\]故
\[\frac{a^6+b^6+c^6}{a^2b^2c^2}\geqslant\frac{(a^2+b^2)^3+4c^6}{(a^2+b^2)^2c^2}=\frac{1+4t^3}t,\]其中 `t=c^2/(a^2+b^2)>1`，易证上式右边在 `(1,+\infty)` 递增，故
\[\frac{a^6+b^6+c^6}{a^2b^2c^2}>5,\]而当三角形趋向等腰直角三角形时上式左边趋向 `5`，故 `k` 的最大值就是 `5`。

isee

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很简单的题啊……不妨设 `c` 为最大边，有
\[a^6+b^6+c^6\geqslant\frac14(a^2+b^2)^3+c^6,\] ...
kuing 发表于 2021-8-12 02:56

哈哈哈哈哈，简单简单第一步就“玩倒”一片

hjfmhh

(1+1)(1+1)(a^6+b^6)>=(a^2+b^2)