含绝对值的最大最小值问题

力工

已知$a$为实数，若存在$x∈[1,2]$使$max\{|x+\frac{a}{x}|,|x+\frac{a}{x}+2|\}\geqslant 5$，求$a$的范围.

hbghlyj

考虑问题的反面:$\forall x\in[1,2],\abs{x+\frac ax}<5\wedge\abs{x+\frac ax+2}<5$.
$\forall x\in[1,2],x+\frac ax<3\Leftrightarrow a<x(3-x)\Leftrightarrow a<2$.
$\forall x\in[1,2],x+\frac ax>-5\Leftrightarrow a>-x(x+5)\Leftrightarrow a>-6$.
所以a的范围是$a\in(-6,2)$.
原题答案就是$a\in(-\infty,-6]\cup[2,+\infty)$.