一道三元分式不等式的证明的疑问

hbghlyj

arqady的帖子
$ (\frac a{b + c})^2 + (\frac b{c + a})^2 + (\frac c{a + b})^2 + \frac {10abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}\ge2$
证:展开得$ \sum_{cyc}(a^6+2a^5b+2a^5c-a^4b^2-a^4c^2-4a^3b^3+a^2b^2c^2)\geq0,$
LHS=$a b c \sum a (a - b) (a - c) + (a + b + c) \sum a^3 (a - b) (a - c) +  2 \sum a b (a^2 - b^2)^2\ge0$
由三次和五次Schur不等式,得证!

hbghlyj

can_hang2007的帖子

\[ \Leftrightarrow (p-3)(p^2-16) \le 0\]
which is true since $ 4 \ge p \ge \sqrt{3q} \ge 3$

这个证明应该是正确的. 但我不知道这步为何$ \sqrt{3q} \ge 3$.
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翻译如下
令$x=\frac{2a}{b+c},\cdots,$则有xy+yz+zx+xyz=4,要证$x^2+y^2+z^2+5xyz\geq8$.令p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz,则q+r=4,要证$p^2-2q+5r\geq8\Leftrightarrow p^2-7q+12\geq0.$
若4≥p,由3次Schur有$r\geq\frac{p(4q-p^2)}{9}\Rightarrow4\geq q+\frac{p(4q-p^2)}{9}\Leftrightarrow q\le\frac{p^3+36}{4p+9}.$只需证$p^2-\frac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+12\geq0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2-16\right)\le0$,这是因为$4\geq p\geq\sqrt{3q}\geq3.$
若p≥4,则$p^2\geq16\geq4q⇒p^2-2q+5r\geq p^2-2q\geq\frac{p^2}{2}\geq8.$

kuing

回复 2# hbghlyj

4=q+r<=q+(q/3)^(3/2)

hbghlyj

回复 3# kuing
明白了.
另外,13#dduclam说8#的证明是错误的.哪里错了呢?我沒看出来