空间几何体的轨迹问题

敬畏数学

正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，P为$AB_{1}D_{1}$内一动点，P到底面ABCD的距离与到直线$AD_{1}$的距离相等，则点P的轨迹是——————？

kuing

设平面 `AB_1D_1` 与底面 `ABCD` 的交线为 `l`，然后过 `P` 作各种垂线如下图：

依题意得 `PN:PQ=PM:PQ=\sin\theta`，这里 `\theta` 为两平面的夹角，为定值。
于是变成：在平面上，`P` 到两定直线的距离之比为定值。
易知轨迹为直线，当然本来应该是两条，但原题有区域限制所以只有一条线段。

乌贼

先看空间，直线$ AB $与平面$ a $交于点$ B $，$ P $为空间上一点，$ P $到直线$ AB $与到平面$ a $的距离相等，见图

则对于某一距离，其轨迹就是平面与圆柱的截面（园或椭圆），轨迹集合就是一圆锥面。回到本题，$ P $又在过圆锥顶点的$ AB_1D_1 $平面内，故为一线段。

敬畏数学

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nice!terrific!