向量的数量积最值问题

敬畏数学

A,B分别为圆M：$ （x+\dfrac{1}{2})^2+y^2=\dfrac{1}{4}$和圆F:$ (x-2)^2+y^2=4$上的动点，O为平面直角坐标原点，$\vv{OA}\cdot \vv{AB}$的最大值______。

色k

想起了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=5943
这回又改了

走走看看

回复 1# 敬畏数学

圆心M:$(-\frac{1}{2},0)$,圆心N:$(2,0)$。
\begin{align*}
\vv{OA}\cdot\vv{AB}&=\vv{OA}\cdot(\vv{OB}-\vv{OA}) \\
&=\vv{OA}\cdot\vv{OB}-\vv{OA}^2 \\
&=|\vv{OA}|\cdot|\vv{OB}|cosθ-\vv{OA}^2 \\
&=-(|\vv{OA}|-\frac{1}{2}|\vv{OB}|cosθ)^2+(\frac{1}{2}|\vv{OB}|cosθ)^2\\
\end{align*}
显然，当$|\vv{OA}|=\frac{1}{2}|\vv{OB}|cosθ$时，$\vv{OA}\cdot\vv{AB}$取得最大值。
后面怎么算呢？

走走看看

回复 3# 走走看看


网上说，根据几何关系，此时可得 $|\vv{OB}|cosθ=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
不知怎么推导。

走走看看

小猿搜题、作业帮，都是按照普通方法来算，到关键时刻直接说出答案，像3楼一样。

采用参数方程，并用求偏导的方式，可得最终答案确实是$\frac{1}3$。

根据求偏导的结果可知，$|\vv{OA}|、|\vv{OB}|、θ$都是定值时，才能得出最值。

那么用普通方法怎么求呢？

下面这个图，是同一个人在小猿搜题和作业帮中的回答，但没有给出几何关系的推导。

走走看看

现已查明这种解答是错误的。

如果3、4、5楼的解答是正确的，倒推过去，$|\vv{OA}|=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

事实上，用导数的方法，求出来的答案是$|\vv{OA}|=\frac{1}{3}$。

走走看看

回复 6# 走走看看

错误的原因是，配方时，包含了太多的未知量，且未知量之间的关系并不纯粹。

下面按求导方式来解：

$设A（-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα，\frac{1}{2}sinα）,B（2+2cosβ，2sinβ），0≤α≤π，0≤β≤π。$

\begin{align*}

\vv{OA}&=（-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα，\frac{1}{2}sinα）,\\
\vv{AB}&=（\frac{5}{2}-\frac{1}{2}cosα+2cosβ，2sinβ-\frac{1}{2}sinα）\\
\vv{OA}\cdot\vv{AB}&=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cosα+cos(α-β)-cosβ\\
\\
(\vv{OA}\cdot\vv{AB}_{α})'&=\frac{3}{2}(-sinα)-sin(α-β)=0\\
(\vv{OA}\cdot\vv{AB}_{β})'&=-sin(α-β)（-1）-（-sinβ）=0\\
\\
解得   cosβ&=-\frac{1}{3}，sinβ=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\
cosα&=\frac{7}{9},sinα=\frac{4\sqrt{2}}{9}\\
\\
代入回去得到：\\
|\vv{OA}|&=\frac{1}{3},\vv{OA}\cdot\vv{AB}=\frac{1}{3}\\
\\
\end{align*}

走走看看

按常规解法，想了很久，几个星期。可设∠MOA=α。

那么可得到$\vv{OA}\cdot\vv{AB}=-3cos^2α+2cosα=-3(cosα-\frac{1}{3})^2+3×\frac{1}{3}^2≥\frac{1}{3}$

当$\vv{OA}=\frac{1}{3}时取等，\vv{OA}\cdot\vv{AB}=\frac{1}{3}$。

mowxqq

考虑 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 上的投影最大就可以，对于每个 $A$，都有 $BF\px OA$，设个角就容易出来了