不定方程组的整数解是否存在

abababa

如题，如下不定方程组是否存在整数解？
\[\begin{cases}
xp-3yq=2\\
xq+yp=0
\end{cases}\]

我用软件计算得出一个很复杂的表达式，但如果给出其中一个具体的数值，例如给出$q=2,3,4,\cdots$，就得不到解了，是不是根本就不存在解？要如何证明呢？

realnumber

这样算吗？y=q=0,x=2,p=1

看作x,y的方程，解得$x=\frac{2p}{p^2+3q^2},y=\frac{-2q}{p^2+3q^2}$,因为x,y为整数，因此pq=0,否则$\abs{x},\abs{y}$至少有一个小于1了.
好像就4组解(x,p，y,q)=(±2，±1，0，0)或(±1,±2，0，0)

abababa

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原来如此，是用了$\abs{x}=\abs{\frac{2p}{p^2+3q^2}}\le\abs{\frac{2p}{p^2}}=\abs{\frac{2}{p}}$，这样如果$\abs{p}>2$，$x$就不是整数了，然后$p$只能取$0,\pm1$，同理$q$也只能取这三个数，然后就好做了。看来还是得用不等式才行啊。谢谢。