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Last edited by hbghlyj 2021-5-28 14:09图片均来自网络
△ABC中,AB=BC,P,Q在△ABC内部,BPQ共线,∠BAP=∠QCA,证明:∠PAQ=∠PCQ.
作Q关于中线BM的对称点Q′,则∠Q’AC=∠QCA=∠BAP,∠Q′BC=∠PBA,∴P,Q′是关于△ABC的等角共轭点,∴∠QAC=∠Q′CA=∠PCB.又∠BAC=∠BCA,∴∠PAQ=∠PCQ.
另解
原答案是错的
设A=$\log_2a$,B=$\log_2b$,C=$\log_2c$,则有A+B=$\frac1C$且AB=A+B+C,A,B,C均为正数.若$c=2^{\frac43}$,则$A+B=\frac34,AB=\frac{25}{12}$,显然不存在这样的实数.实际上消去C可得$AB=A+B+\frac1{A+B}\Rightarrow\frac{(A+B)^2-(A-B)^2}4=A+B+\frac1{A+B}\Rightarrow\frac{(A+B)^2}4-(A+B)-\frac1{A+B}=\frac{(A-B)^2}4 $不难看出存在符合条件的a,b,c等价于存在正数A,B,C满足$\frac{(A+B)^2}4-(A+B)-\frac1{A+B}≥0,C=A+B$,进而等价于存在正数C满足$\frac1{4C^2}-\frac1C-C≥0\Leftrightarrow$正数C满足$C^3+C-\frac14$≤0， 考察函数$f(C)=C^3+C-\frac14$知f(C)单调增,零点即C的最大值，在实数范围内解三次方程$C^3+C-\frac14=0$可得C约等于0.2367329,c=$2^C$≈1.17832.
可能抄错题目了，估计是这样：a,b,c均为正实数,$\log_2a\log_2b=\log_2ab,\log_2a\log_2b\log_2c=\log_2abc$,求c的最大值.- 数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=-a_n^2+ca_n-1$,若$\{a_n\}$单调递增,则实数c的取值范围是
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $是平面内的三个单位向量,若$ \vec{a} \perp \vec{b} $,求$ |\vec{a}+2 \vec{c}|+|3\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}| $的最小值.
根据题意设$\vv a=(1,0),\vv b=(0,1),\vv c$对应的点C在单位圆上,$ (\vec{a}+2 \vec{c})^{2}-(2 \vec{a}+\vec{c})^{2}=3 \vec{c}^{2}-3 \vec{a}^{2}=0 $,所以$ |\vec{a}+2 \vec{c}|=|2 \vec{a}+\vec{c}| $
$ |2 \vec{a}+\vec{c}|+|3 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}| $表示C点到点(-2,0)和(3,2)的距离之和，
过点(-2,0)和(3,2)的直线为2x-5y+4=0,
原点到直线2x-5y+4=0的距离为$\frac4{\sqrt{29}}<1$,所以与单位圆相交.所以$ |2 \vec{a}+\vec{c}|+|3 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}| $的最小值为点(-2,0)和(3,2)之间的距离，即$\sqrt{29}$
本质为阿波罗尼斯圆，但借助复数可以写一个不画图的直接做法：由条件不妨设a=1，b=i，|c|=1，用c'表示c的共轭复数，则原式可写成|1+2c|+|3+2i-c|=|1+2c'|+|c-（3+2i）|=|c（1+2c'）|+|c-（3+2i）|=|c+2|+|c-（3+2i）|=|c-（-2）|+|c-（3+2i）|
≥|（-2）-（3+2i）|=√29，然后在验证一下能否取等即可.
证明：（1）连接CE，过点F作FG∥CE，交AD于G，连接CG，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AE=AB，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，∠ABF=∠AEF，
∵FG∥CE，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AG=AF，
∴EG=CF，
在△EGC和△CFE中，
EG＝CF
∠GEC＝∠FCE
CE＝CE，
∴△EGC≌△CFE（SAS），
∴∠EGC=∠CFE=∠AFB，
在△AGC和△AFE中，
AG＝AF
∠GAC＝∠FAE
AC＝AE，
∴△AGC≌△AFE（SAS），
∴∠ACG=∠AEF=∠ABF，
∵∠DCG=180°-∠ACB-∠ACG=180°-60°-∠ABF=120°-∠ABF，∠AFB=180°-∠BAC-∠ABF=180°-60°-∠ABF=120°-∠ABF，
∴∠DCG=∠AFB=∠EGC，
∴CD=DG=DE+EG=DE+CF，
即CD=DE+CF；
（2）由（1）得：AF=AG，CD=DG，
∴AF+CD=AG+DG=AD，
即AF+CD=AD.
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