恒成立$e^x(ax^2-2x+3)-x-3\ge 0$

realnumber

$g(x)=e^x(ax^2-2x+3)-x-3\ge 0$,对$x\in R$，恒成立.求a的取值范围.$a\ge \frac{1}{2}$

$g(0)=0,g'(0)=0$,这样必要条件是$g''(0)\ge 0$,可得$a\ge \frac{1}{2}$.
充分性怎么证明？

kuing

充分性很简单啊，关于 a 单增，所以只需证 a=1/2，且只需考虑 x+3>0 时，此时把括号除过去，取对数，即证
\[x\geqslant\ln\frac{2(3+x)}{x^2-4x+6},\]求导作差刚好可以很简单
\[=\frac{x^3}{(x+3)(x^2-4x+6)}.\]

realnumber

en,谢谢，关于a单增没想到

isee

充分性很简单啊，关于 a 单增，

分参思想下，二次函数，考虑的是判断式恒负更容易理解些

isee

此题亦可以直接写，也是一个很好的典范。


首先可知需`a>0`，否则$a<0$时`a\to +\infty,g(x)\to -\infty`。
当然，如果觉得这个极限有点暧昧，也可以取`x=1`代入原式，即\[\mathrm e(a+1)\geqslant 4\Rightarrow a\geqslant \frac {4-\mathrm e}{\mathrm e}>0\]

此时`y=ax^2-2x+3`的判别式`\Delta_1=4-12a<4-\frac {48-48\mathrm e}{\mathrm e}=\frac{16\mathrm e-48}{\mathrm e}<0`，即`ax^2-2x+3>0`，于是原不等式可化为
\[1\geqslant \frac{x+3}{ax^2-2x+3}\mathrm e^{-x}=h(x),\]
求导整理可得
\[h'(x)=-x\mathrm e^{-x}\frac{ax^2+(4a-2)x+6a-3}{(ax^2-2x+3)^2},\]

对`y=ax^2+(4a-2)x+6a-3`求其判别式\[\Delta_2=-4(2a-1)(a+1),\]

注意到`h(0)=1`，当`a\geqslant \frac 12`时，`y=ax^2+(4a-2)x+6a-3>0`，于是
当`x\in (-\infty ,0),h'(x)>0`，`h(x)`单调递增，
当`x\in (-\infty ,0),h'(x)>0`，`h(x)`单调递减，
即`h(x)_{\max}=h(0)=1`，合题。

当`a< \frac 12`时，容易求得，此时导函数有一负`x_1`，0，一正`x_2`三个零点且`x_2`为极大值点，`x\in(0,x_2)`时，`h(x)`是增函数，则`h(x_2)>h(0)=1`与题不符。

综上所述`a\geqslant \frac 12`.