三道平几题

hbghlyj

如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,
作正△ABD,E是BC上一点,△DEA~△AEF.
求CF的长.

乌贼

先上一引理：
如图：
$ AC，BD $为园上两相交弦，交点为$ P $，$ E，F $分别为不相邻弦上两点。$ M，N $分别为$ BE $与$ AF $，$ EC $与$ DF $的交点，则有$ MPN $三点共线。（但不知道如何证明）
  见图
由引理知$ \triangle DBP $为等腰三角形且\[ DP=DB \]取$ EF'=EF $得\[ \triangle DQP\cong \triangle DF'A\riff DQ=DF' \]作等腰$ \triangle ADM $，顶角$ \angle ADM=30\du  $。有\[ \triangle BDQ\cong \triangle MDF'\riff MF'=BQ=AB \]令$ \angle ADE=\angle 1，\angle AED=\angle 2 $，有\[ \angle AF'M=\angle AF'D-\angle MF'D=\angle 1+\angle 2-（90\du -\angle BDF' ）=\angle 1+\angle 2-(90\du -60\du +\angle 1)=\angle 2-30\du \]又\[\angle FAC=\angle DAC-\angle DAE-\angle EAF=150\du -(180\du -\angle 1-\angle 2)-\angle 1=\angle 2-30\du  \]所以\[ \triangle AF'M\cong \triangle FAC \\\riff CF=AM=\sqrt{2-\sqrt{3}} \]

乌贼

楼主，这真是初中的平几题吗？贴出答案看看！

isee

回复 3# 乌贼


    一看就是竞赛级别的，所以，没啥奇怪的，至于标答，楼主也不一定有

hbghlyj

回复 3# 乌贼
这些题是从一个竞赛Q群转来的,我也没有答案
与几何共舞795472143欢迎加入

hbghlyj

引理好像是Pascal定理

乌贼

真是isee说的竞赛题，没想到有pascal定理

乌贼

pascal定理链接：zhuanlan.zhihu.com/p/62085051

郝酒

我昨天用几何画板试了下，发现点F在以C为圆心的一个圆上，因为有等边三角形和等腰直角三角形两个旋转大户，以为是很巧妙的旋转题目。不想这么复杂。

乌贼

原来我问过
forum.php?mod=viewthread&tid=6971&highlight=

hbghlyj

再补一道(也是从5#的q群转来的)

hbghlyj

这个题的图有两种情况,因为点N有两个位置:

乌贼

想绕开pascal定理，没想到又碰到一引理（不知是否也是定理），先上图……

kuing

第一题既然几天都还没简单的几何法，那我就撸个复数法吧，计算量并不大，也是个8错嘀选择

由于懒，直接以字母表示该点对应的复数。

如图，建系使 `C` 为原点且 `A=i`，则
\[D=-\frac12+\left( 1+\frac{\sqrt3}2 \right)i,\]由 `E` 在 `BC` 上可设 `E=x-xi`（`x\inR`），由相似得
\[F-E=\frac{(A-E)^2}{D-E},\]故
\[F=E+\frac{(i-E)^2}{D-E}=\frac{-1+(D-2i)E}{D-E},\]代入那些式子计算出
\begin{align*}
-1+(D-2i)E&=-1+\frac{-3+\sqrt3}2x+\frac{-1+\sqrt3}2xi,\\
D-E&=-\frac12-x+\left( 1+\frac{\sqrt3}2+x \right)i,
\end{align*}故
\begin{align*}
\abs F&=\frac{\abs{-1+(D-2i)E}}{\abs{D-E}}\\
&=\sqrt{\frac{\left( -1+\frac{-3+\sqrt3}2x \right)^2+\left( \frac{-1+\sqrt3}2x \right)^2}{\left( -\frac12-x \right)^2+\left( 1+\frac{\sqrt3}2+x \right)^2}}\\
&=\sqrt{2-\sqrt3}.
\end{align*}

乌贼

回复 14# kuing
如图：
$ \triangle AEF $交$ DE $于点$ P $，作等腰三角形$ DAO $，且$ \angle DAO=30\du ,AD=AO $。有\[  AP=AF \]\[  \triangle ADP\sim \triangle EDA\riff DB^2=AD^2=DP\cdot DE\riff\triangle PDB\sim \triangle BDE\riff \angle DPB=\angle DBE=105\du  \]知$ O $点即为$ \triangle DBP $的外接圆圆心，且\[ OP=\sqrt{2-\sqrt{3}} \]又\[ \angle OAP=\angle DAP-30\du =\angle CAF \]所以\[ \triangle OAP\cong \triangle CAF\riff CF=OP=\sqrt{2-\sqrt{3}} \]