a+b=1，求$\frac{8}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值

realnumber

a+b=1，求$\frac{8}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值.27，$a=\frac{2}{3}$
做得好丑，令$t=\frac{b}{a},\frac{8}{a^2}+\frac{1}{b^2}=(\frac{8}{a^2}+\frac{1}{b^2})(a+b)^2=8(t^2+2t+1)+(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}+1)$,然后求导.
  

有没直接用不等式，2，3下到位的.

kuing

你竟然不会权方和（or holder），不用两三下，只要一下……

realnumber

回复 2# kuing


thanks   ,不太用，偶尔来一下，我去搜搜

hbghlyj

回复 1# realnumber
权方和:
$\frac{2^3}{a^2}+\frac{1^3}{b^2}\ge\frac{(2+1)^3}{(a+b)^2}=27$

Holder:
$(a+b)^{\frac23}\left(\frac8{a^2}+\frac1{b^2}\right)^{\frac13}\ge a^{\frac 23}\left(\frac8{a^2}\right)^{\frac13}+b^{\frac 23}\left(\frac1{b^2}\right)^{\frac13}=3$

isee

你竟然不会权方和（or holder），不用两三下，只要一下……
kuing 发表于 2021-5-31 15:06

我见到名字，见到的例题太复杂，估计没有一秒就走人了

今天见了4#，哎哎哎，这就是柯西加强啊，哦，原来这就是权方和不等式，好用好用

=========

记起来一点点，曾写过 holder 不等式，不过，忘记了

其妙

a+b=1，求$\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$的最小值.27，$a=\dfrac{2}{3}$
做得好丑，令$t=\dfrac{b}{a},\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=(\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{1}{b^2})(a+b)^2=8(t^2+2t+1)+(\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{t}+1)$
realnumber 发表于 2021-5-31 15:02

好吧。那我就来两下
$\dfrac{8}{a^2}+18+\dfrac{1}{b^2}+9$$\geqslant2\sqrt{\dfrac{8}{a^2}\cdot 18+}+2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}\cdot9}$=$\dfrac{24}{a}+\dfrac{6}{b}\geqslant\dfrac{(2\sqrt6+\sqrt6)^2}{a+b}=54$，
两边减去27得，$\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geqslant27$.
还可以连续两次柯西不等式的，有空再写。

isee

回复 6# 其妙


    代码进步了，就是\dfrac 用得用点乱，用 \frac 就好，展示模式，即双美元开头，又美元结尾

isee

好吧。那我就来两下

...还可以连续两次柯西不等式...
其妙 发表于 2021-6-4 21:52

你这个坑，坑了了好半天，是指，其中为了书写方便，记`x^2=\frac 1{\sqrt 3}`:
\[\left(\frac 23+\frac 13\right)\left(\frac 8{a^2}+\frac 1{b^2}\right)\geqslant \left(\frac {4x^2}{a}+\frac {x^2}b\right)^2\geqslant=\left(\frac {9x^2}{a+b}\right)^2=27,\]这个样子么？

色k

我见到名字，见到的例题太复杂，估计没有一秒就走人了

今天见了4#，哎哎哎，这就是柯西加强啊，哦，原来这就是权方和不等式，好用好用 ...
isee 发表于 2021-5-31 19:18

网友问我一道题，给你来练习：
已知：正数 $x, y$ 满足 $6 x y \sqrt{x^2+4 y^2}=3 x+8 y$ ，则 $x^2+4 y^2$ 的最小值为：

isee

回复 9# 色k


    用权方和不等式？

kuing

回复 10# isee

引用你那段，当然是有这层意思咯快试试吧

isee

回复 11# kuing


叩，问你的题会有简单的，再说再说

kuing

回复 12# isee

不简单的我就自己写啦，送你练习不会难嘀……加上都提示你思路了……

isee

回复 13# kuing


    这样子\[\cdots=\frac 8x+\frac 6{2y}\geqslant \frac {\left(4+6^{2/3}\right)^{3/2}}{\sqrt{x^2+4y^2}}?\]

isee

回复 14# isee

应该就是这样，这个次数用起来真灵活，只是这个结果太奇怪了

isee

回复 1# realnumber

改下主楼题：`a,b>0`且`a^2+b^2=1`，则`\frac 8a+\frac 1b`的最小值为_`5\sqrt 5`_.

果然不等式都是坑，入不得，闪了闪了，睡觉~

色k

回复 15# isee

结果怪才好，没得蒙答案

isee

回复 17# 色k


挺好的，感到权方和不等式的美了，多谢

其妙

你这个坑，坑了了好半天，是指，其中为了书写方便，记`x^2=\frac 1{\sqrt 3}`:
\[\left(\frac 23+\frac  ...
isee 发表于 2021-7-11 16:51

其妙

网友问我一道题，给你来练习：
色k 发表于 2021-8-1 22:42

改为这个数据更好，
\begin{aligned} & x, y>0, x y \sqrt{7\left(x^2+3 y^2\right)}=3 x+8 y, \text { 求 }\left(x^2+3 y^2\right)_{\text {min }} \\ & \text { 解: 由条件知 } 7\left(x^2+3 y^2\right)^2=\left(\frac{8}{x}+\frac{3}{y}\right)^2\left(x^2+3 y^2\right) \geqslant(4+3)^3, \\ & \text { 故 } x^2+3 y^2 \geqslant 7, \text { 当 } x=2, y=1 \text { 取等. }\end{aligned}