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Last edited by hbghlyj 2021-6-1 19:49|az+bz*+c|=1表示椭圆或两条平行线或两条重合的直线,其中a,b,c是复常数.
证:当a=0时表示以0为中心,$|b|^{-1}$为半径的圆;当b=0时表示以0为中心,$|a|^{-1}$为半径的圆;
当|a|≠|b|且ab≠0时,关于w的方程组\(\left\{ \begin{matrix}
aw + bw^{*} + c = 0 \\
b^{*}w + a^{*}w^{*} + c^{*} = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \)有解,作平移z↦z+w,方程化为|az+bz*|=1.
令$\frac{b}a=ku$,其中k∈ℝ,k≠±1,|u|=1.作旋转$z↦zu^{\frac12}$,方程化为|z+kz*|=$\frac1{|a|}$.即\((1 + k)^{2}x^{2} + (1 - k)^{2}y^{2} = \frac{1}{|a|^{2}}\).
当|a|=|b|≠0时,关于w的方程组\(\left\{ \begin{matrix}
aw + bw^{*} + c = 0 \\
b^{*}w + a^{*}w^{*} + c^{*} = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \)有无穷多解,而「若z满足方程,则z+w满足方程」,所以方程表示的曲线关于直线aw+bw*+c=0的方向具有平移不变性.
当z∈ℝ时,|az+bz*+c|=1的解为$z=\frac{1-c}{a+b},z=\frac{-1-c}{a+b}$,所以方程表示的曲线是两条平行线,当c=0时是两条重合的直线. |
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isee
Posted 2021-5-31 23:56
