九点圆锥曲线

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任何完全四边形各边中点,三个对角线点（共9点）共圆锥曲线。

完全四边形的每个外接圆锥的中心都位于九点圆锥曲线上。(1912 Maud Minthorn)
九点圆是垂心组的九点曲线。
当P在ABC的外接圆上时，圆锥曲线就是等轴双曲线。
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九点圆经过一个仿射变换变为九点圆锥曲线。垂心变换变为与九点圆锥曲线和重心的中心共线的自由点P。我们证明P相对于九点圆锥的极线平行于三角形和垂三角形的像的Desargues透视轴。
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给定三个自由点A,B,C和不在△ABC的边上的自由点P。设AP，BP，CP与△ABC的边相交于R，S，T。设ABC的边的中点为L，M，N。设圆锥曲线RSTLMN是九点圆锥曲线Σ，它通过AP，BP，CP的中点U，V，W。 设BC，CA，AB上的点R'，S'，T'分别是R，S，T的调和共轭,则直线R′S′T′是三角形ABC和PQR的Desargues透视轴。设P相对于圆锥Σ的极线与边BC，CA，AB交于A'，B'，C'。要证明A'B'C'与R'S'T'平行。设点U'= AR ^ BS'，类似地定义V'和W'。 我们以ABC为参考三角形建立重心坐标系来证明三角形ABC和U'V'W'的Desargues透视轴也是R'S'T。

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点L，M，N的坐标为L（0，1，1），M（1，0，1），N（1，1，0）。设P的坐标为（l，m，n）。则R，S，T的坐标为R（0，m，n），S（l，0，n），T（l，m，0）。容易证明，通过这六个点的圆锥曲线Σ的方程为
$$ m n x^{2}+n l y^{2}+l m z^{2}-1(m+n) y z-m(n+1) z x+n(1+m) x y=0 \tag{2.1}$$
Σ与AP再次相交于U（2l + m + n，m，n）。类似地，它通过V（l，l + 2m + n，n）和W（l，m，l + m + 2n）。这反映了这样的事实：U，V，W分别是AP，BP，CP的中点。这是因为，九点圆锥曲线是通过仿射变换从九点圆变来的，仿射变换保持线段比。

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圆锥Σ的中心Q的坐标为(2l+m+n,l+2m+n,l+m+2n)。容易证明PQG共线，并且$\vv{GQ}=\frac{\vv{QP}}3$，这反映了这样的事实：在欧拉线上$\vv{GN}=\frac{\vv{NH}}3$，其中N是九点圆的中心。

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P关于Σ的极线的方程为$$mn(m+n)x+nl(n+l)y+lm(l+m)z=0\tag{4.1}$$交BC于A'，且A'(0,–m(l+m),n(n+l)).CA，AB上的点B',C'的坐标为B'(l(l+m),0,–n(m+n)),C'(–l(n+l),m(m+n),0).

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直线ST的方程为$$nly+lmz=mnx\tag{5.1}$$与BC相交于R'(0,–m,n)。CA，AB上的点S'，T'的坐标为S'(l,0,–n),T'(–l,m,0).点R'，S'，T'分别是R，S，T相对于B，C和C，A和A，B的调和共轭。R'S'T'当然是三角形ABC和RST的Desargues透视轴。
R'S'T'的方程为$mnx+nly+lmz=0\tag{5.2}$A'B'C'和R'S'T'的交点的坐标(l(m–n),m(n–l),n(l–m))位于无穷远线x+y+z=0上，因此A'B'C'与R'S'T'平行。

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直线AR和BS'交于U'(–l,m,n).类似地，BS和CT'交于V'(l,-m,n)，而CS和AR'交于W'(l,m,-n)。因此，直线V'W'的方程为ny+mz=0，交BC于R'。因此，R'S'T是三角形ABC和U'V'W'的Desargues透视轴。

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mysite.mweb.co.za/residents/profmd/ninepoint.pdf
dynamicmathematicslearning.com/ninepointconic.html

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