三角形中，与内心相关的最大值

lemondian

在$\triangle ABC$中，$BC=a,AB=c,AC=b$，若$D$是内心,且$CD=d$，过点$D$的直线交$AC,BC$于点$E,F$.请问$CE\cdot CF$有没有最大值，若有，最大值是多少？

hbghlyj

CE=x,CF=y,∠DCE=α,则$\frac{\sin{α}}x+\frac{\sin{α}}y=\frac{\sin{2α}}{d}$,即$\frac1x+\frac1y=\frac{2\cos{α}}{d}$
xy=k,则$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{α}}{d}$
$xy\ge\frac{d^2}{\cos^2{α}}$

lemondian

回复 2# hbghlyj
这个是最小值呀

hbghlyj

回复 3# lemondian
从$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{α}}{d}$发现,当$x\to+\infty$时,$k\to+\infty$,所以没有最大值

lemondian

回复 4# hbghlyj
问题是：x最大是b,y最大是a,会不会$E,F$其中一个与顶点$A,B$重合时有最大值？

hbghlyj

回复 5# lemondian
设x<y,则$x<\sqrt k$,关于x的函数$\frac{x}{k}+\frac1x$严格下降,当x$>\frac{k}a$时$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{\alpha}}d<\frac 1a+\frac ak$,即$k<\frac a{\frac{2\cos{α}}d-\frac 1a}$,当y=a时取等.
设x>y,同理可得$k<\min{\frac b{\frac{2\cos{α}}{d}-\frac{1}{b}}}$,当x=b时取等.
所以k的最大值是$\max\left\{\frac a{\frac{2\cos{α}}{d}-\frac{1}{a}},\frac b{\frac{2\cos{α}}{d}-\frac{1}{b}}\right\}$
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原回答

lemondian

回复 6# hbghlyj
当$x\in(\frac{k}a,b)$时,$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{α}}{d}<\frac{1}{a}+\frac ak$
这个地方不明白：当$x\in(\frac{k}a,b)$时，有$x<\sqrt k$吗？

hbghlyj

哦哦.我改一下.

hbghlyj

回复 7# lemondian
回复 7# lemondian
现在还有漏洞吗

lemondian

回复 9# hbghlyj
谢谢，但有个地方还是弄不明白！
我自已想了一下，我的思路是这样的
因为$0<x\leqslant b,0<y\leqslant a,且xy=k<ab$，
当$x<y$时，有$2y>x+y>2\sqrt{xy}=2\sqrt{k}$,
从而有$y>\sqrt{k},x<\sqrt{k}$.
令$f(x)=\dfrac{x}{k}+\dfrac{1}{x},$则$f'(x)=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{x^2}$,故可得$f(x)$在$(0,\sqrt{k})$递减，在$(\sqrt{k},b)$递增。
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然后，你所写的
当$x>\frac{k}a$时,$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{α}}{d}<\frac{1}{a}+\frac ak$.
我不明白的是为什么：$x>\frac{k}a$-->这个范围从何而来的？它与上面的单调区间有什么关系呢？
不知道我表达得够清楚了没？

lemondian

回复 10# lemondian
是不是这样：
因为$y=\dfrac{k}{x}\leqslant a$,
所以$x\geqslant \dfrac{k}{a}$,
但问题又来了：为什么是$x>\frac{k}a$时,就有$\frac{x}{k}+\frac1x=\frac{2\cos{α}}{d}<\frac{1}{a}+\frac ak$？
这个$x>\frac{k}a$与$f(x)$的单调区间有什么关系？