$\cos (A-B)\cos (B-C)\cos (C-A)=1$

isee

在三角形$\triangle ABC$中，有$\cos (A-B)\cos (B-C)\cos (C-A)=1$，判断此三角形的形状。

个人肯定是写复杂了，似乎用有界性要分类讨论，说不太清的感觉。

直接积化和差

\begin{gather*}
\cos (A-B)\cos (B-C)\cos (C-A)\\[1ex]
=\frac 12(\cos(A-C)+\cos (A+C-2B))\cos (C-A)\\[1ex]
=\frac 12(\cos^2(A-C)+\cos (A+C-2B)\cos (C-A))\\[1ex]
=\frac 12\left(\cos^2(A-C)+\frac 12\cos (2C-2B)+\frac 12\cos (2A-2B)\right)\\[1ex]
=\frac 12\left(1-\sin^2(A-C)+\frac 12(1-2\sin^2(C-B)+\frac 12(1-2\sin^2(A-B)\right)=1\\[1ex]
\therefore 2-\sin^2(A-C)-\sin^2(C-B)-\sin^2(A-B)=2\\[1ex]
\therefore \sin^2(A-C)+\sin^2(C-B)+\sin^2(A-B)=0\\[1ex]
\therefore \sin^2(A-C)=\sin^2(C-B)=\sin^2(A-B)=0
\end{gather*}

下略

爪机专用

？？？三个(-1,1]内的数的乘积为1，只能三个都是1啊

isee

回复 2# 爪机专用

嗯，不过有“部分”始终纠每个积的每个角的范围