原创一道数量积与模长混合的向量题

其妙

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其妙

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这道题大家都不感兴趣呀？难道是一道错题？

走走看看

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解答同一道题目，最好能够前后统一，有一个基准，比如，$\vv{c}=(2,0)$。

最大值时，
$\vv{a}=(\frac{7}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3}),\vv{b}=(\frac{14}{3},-\frac{4\sqrt{5}}{3}),\vv{c}=(2,0)$。

最小值时
$\vv{a}=(-1,0),\vv{b}=(-2,0),\vv{c}=(2,0)$。

回头给出一个过程。

走走看看

把$|\vv{a}-\vv{c}|=3,|\vv{b}-\vv{c}|=4$分别平方并相加，把其中的一个$\vv{c}^2$换成$2\vv{a}\vv{b}$。

\begin{align*}
\vv{a}^2-2\vv{a}\vv{c}+\vv{c}^2+\vv{b}^2-2\vv{b}\vv{c}+\vv{c}^2&=25   \\
\vv{a}^2+\vv{b}^2+\vv{c}^2-2\vv{a}\vv{c}-2\vv{b}\vv{c}+2\vv{a}\vv{b}&=25  \\
(\vv{a}+\vv{b}-\vv{c})^2&=25 \\
|\vv{a}+\vv{b}-\vv{c}|&=5 \\
|\vv{a}^2+\vv{b}-\vv{c}|-|\vv{c}|≤& |\vv{a}+\vv{b}|≤|\vv{a}^2+\vv{b}-\vv{c}|+|\vv{c}|\\
3≤ &|\vv{a}^2+\vv{b}|≤7\\
\end{align*}

下面考察取等条件：当$\vv{a}^2+\vv{b}-\vv{c}$与$\vv{c}$方向相同时，取得最大值；方向相反时，取得最小值。

很显然，若设定$\vv{c}=(2,0)$，那么$\vv{a}+\vv{b}$必然在y上的分量和为0，因此可设$\vv{a}=(x_1,m),\vv{b}=(x_2,-m)$

代入已知条件得到：

\begin{cases} x_1x_2-m^2=2    ①  \\ (x_1-2)^2+m^2=9    ②\\ (x_2-2)^2+m^2=16  ③\end{cases}

解得：
\begin{cases}x_1=\frac{7}{3}或x_1=-1  \\ x_2=\frac{14}{3}或x_2=-2\\ m=\frac{4\sqrt{5}}{3}或m=0\end{cases}

最大值时，$\vv{a}=(\frac{7}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3}),\vv{b}=(\frac{14}{3},-\frac{4\sqrt{5}}{3}),\vv{c}=(2,0)$。

最小值时,$\vv{a}=(-1,0),\vv{b}=(-2,0),\vv{c}=(2,0)$。