奇怪的整除

realnumber

x,y都是自然数,x(x+1)|y(y+1),同时以下四种没有一个成立,
x|y,x|y+1,x+1|y,x+1|y+1,试找出一组实例,并证明有无穷组这样的数.x=14,y=20














x,y都是自然数,x(x+1)(x+2)|y(y+1)(y+2),同时以下九种没有一个成立,
x|y,x|y+1,x|y+2,x+1|y,x+1|y+1,x+1|y+2,x+2|y,x+2|y+1,x+2|y+2试找出一组实例,并证明有无穷组这样的数.
x=33,y=23154

hejoseph

若 $y(y+1)=kx(x+1)$，则 $4y^2+4y+1=k(4x^2+4x+1)-k+1$，整理得
\[
(2y+1)^2-k(2x+1)^2=1-k
\]
当 $k$ 是完全平方数时，显然，方程无解或只有有限解。
当 $k$ 不是完全平方数时，显然 $x=y=0$ 时满足方程，设 $(x_0,y_0)$ 是满足 $y_0^2-kx_0^2=1$ 的最小正整数解，由此可以得到一组解
\[
2y+1+\sqrt{k}(2x+1)=(1+\sqrt{k})(y_0+x_0\sqrt{k})^n
\]
其中 $n$ 是正整数，但 $n=1$ 时的解显然不满足条件，于是 $n$ 是大于 $1$ 的整数。

例如，$k=2$ 时，$(x_0,y_0)=(3,2)$
当 $n=2$，得 $x=14$，$y=20$
当 $n=3$，得 $x=84$，$y=119$
当 $n=4$，得 $x=492$，$y=696$
当 $n=5$，得 $x=2870$，$y=4059$

$k=3$ 时，$(x_0,y_0)=(4,7)$
当 $n=2$，得 $x=76$，$y=132$
当 $n=3$，得 $x=1065$，$y=1845$
当 $n=4$，得 $x=14840$，$y=25704$
当 $n=5$，得 $x=206701$，$y=358017$

等等

realnumber

何老师把通解都解出来了,小伙子是这样做的
$35\mid y , 6\mid y+1$

后面一个也这样,就是不敢肯定+n时,是否能找到解