已知三角形的内切圆外接圆半径r,R，确定其周长的最值？

郝酒

RT
如果已知内切外接圆半径，有欧拉定理，可得内切圆心和外接圆心的距离OI，然后在外接圆上任取一点，做内切圆的切线，交外接圆于另外两个点。彭赛列的结论有：两点的连线肯定与内切圆相切，由此就确定了一个三角形。
我的问题是：在变化过程中，三角形的周长是如何变化的，能否计算出其最大最小值？
借助Mathematica,我算了一个表达式，比较复杂，是一个多峰的状态，想问下这个问题有无结论。

kuing

记半周长为 `s`，由
\[(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=-4r^2\bigl((s^2)^2-2(2R^2+10Rr-r^2)s^2+r(4R+r)^3\bigr)\geqslant0,\]解得
\[2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr}\leqslant s^2\leqslant2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr}.\]
这就是“sRr 基本不等式”。

郝酒

回复 2# kuing

谢谢ku版。
我还有一个问题：等号左边的式子选择其他的完全平方式，会不会得出一些更强的不等式？
我还在MathStackExchange上提了这个问题，我把ku版的答案搬上去啦。

maximum-and-minimum-perimeter-of-triangle-for-fixed-circumradius-and-inradius

kuing

回复 3# 郝酒

2# 的就是 s^2 的范围（等号总能取到），最强了啊……

PS、刚才第一行后面打多了一个 4，现已修改，你那边也修改一下吧。

郝酒

谢谢ku版，已更新并加上kuing的名号: )
因为还有不等式$s^2\leq 4R^2+4Rr+3r^2$，而ku版给出的不等式是比这个不等式要强的。
那还能不能更强呢？

hbghlyj

几何自动推理：第二届国际研讨会，ADG'98 中国北京，1998 年 8 月 1-3 日第32页

郝酒

回复 6# hbghlyj

谢谢LS，这些文献都是成熟的呀。
作为个体很有挫败感呀~