一个三角形中的阿波罗尼斯定理

lemondian

如图，若$\triangle ABC$三边为$a,b,c$，且$BD=b,AD=2DC$。
求$\cos\angle ABC$.
看到一个这样的写法：
因为$AD=2DC,即AD=\frac{2b}{3},DC=\frac{b}{3}$,
对$\triangle ABC$应用阿波罗尼斯定理，得
$2a^2+c^2=3BD^2+2CD^2+AD^2=3b^2+2(\frac{b}{3})^2+(\frac{2b}{3})^2$.
请教一下：这个等式如何来的？与应用阿波罗尼斯联系在哪？
谢谢。

kuing

管它什么阿波罗啊，自己推导一下又不用一分钟……

由余弦定理：
`a^2=CD^2+BD^2-2CD\cdot BD\cos\angle BDC,\quad(1)`
`c^2=AD^2+BD^2-2AD\cdot BD\cos\angle BDA,\quad(2)`
由于 `AD=2CD`, `\cos\angle BDC=-\cos\angle BDA`，所以 `2\times(1)+(2)` 即得
`2a^2+c^2=2CD^2+AD^2+3BD^2`。

一般地 `AD\times(1)+CD\times(2)` 得
`AD\cdot a^2+CD\cdot c^2=AD\cdot CD\cdot b+b\cdot BD^2`。
就是 *特**特 定理

lemondian

回复 2# kuing
@kuing
(1)1#的那个式子，我也是用你这种做法搞出来的。只是不明白“对三角形ABC就用阿波罗尼斯定理”如何得到这个式子？特别想了解这个
（2）你又留了一个坑：*特**特 定理

isee

柠檬点怕是把它与阿氏圆弄混了吧。

说斯特瓦尔特定理更多些，等价，易记。

还有张角定理，托勒密定理，这四个定理等价。

其次，向量式中必讲扩展内容。

最后，这题主干就是新高考全国卷1第19题。

lemondian

回复 4# isee
“对三角形ABC应用阿波罗尼斯定理”这个是别人写的，我看不明白，所以来请教！
这个题会跟“阿氏圆”扯上关系吗？

向量式中必讲扩展内容：这个指的是什么呀？@isee

isee

回复 5# lemondian

前略；后答：我们将`\vv {BD}=\frac 13 \vv{BA}+\frac 23\vv{BC}`两边平方，并用余弦定理替换到向量积的得到的式子斯特瓦尔特定理

lemondian

回复 6# isee
哦，原来指这个，谢谢！