塞瓦巢定理(赛瓦巢定理)

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XYZ是ABC的塞瓦三角形.DEF是XYZ的塞瓦三角形.则DEF是ABC的塞瓦三角形.
证明
由角元塞瓦定理,要证明$\frac{\sin BAD}{\sin CAD}\cdot \frac{\sin ACF}{\sin BCF}\cdot \frac{\sin EBC}{\sin EBA}=1$.
设$\angle ZDA=\theta$.由正弦定理$\frac{\sin BAD}{ZD}=\frac{\sin\theta}{ZA}\implies \sin BAD=\frac{ZD}{ZA}\sin \theta$.
又$\frac{\sin CAD}{YD}=\frac{\sin (180-\theta)}{YA}\implies \sin CAD=\frac{YD}{YA}\sin (180-\theta)$.
于是,$\frac{\sin BAD}{\sin CAD}=\frac{\frac{ZD}{ZA}\sin \theta}{\frac{YD}{YA}\sin (180-\theta)}=\frac{ZD}{YD}\cdot \frac{YA}{ZA}$.
对$\frac{\sin ACF}{\sin BCF}$和$\frac{\sin EBC}{\sin EBA}$有类似的等式成立,故只需证
\[\frac{ZD}{YD}\cdot \frac{YA}{ZA} \cdot \frac{XE}{ZE}\cdot \frac{ZB}{XB}\cdot \frac{YF}{XF}\cdot \frac{XC}{YC}=1\]
这可对ABC和XYZ直接应用Ceva定理得出,所以证完了.

原文链接

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其它证明
math.fau.edu/yiu/AEG2016/AEG2013Chapter14.pdf
cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CevaNest.shtml

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又见5000的70楼

(1)(赛瓦巢定理)△ABC和任意两点P,Q,设P的反赛瓦三角形为$P_AP_BP_C$,设$QP_A,QP_B,QP_C$分别交DC,CA.AD于$R_A,R_B,R_C$,则$AR_A,BR_B,CR_C$共点于cevapoint(P,Q)
证：设Q的反赛三角形$△Q_AQ_BQ_C$,设P,Q的双反赛瓦锥线为$\Gamma$,重新定义$R_A=PQ_A∩QP_A$先（用同一法）证明$R_A$在BC上,注意$APP_A,AQQ_A$共线，由1.3.1(8)(Brocard定理)$R_A$在A(关于$\Gamma$)的极线上.结合2.3.1(2)故$R_A$在BC上.
设R=cevapoint(P,Q),接下来证明$ARR_A$共线
对$\Gamma$上六点$ PPQ_AQQP_A$用帕斯卡定理
$PP\cap QQ=R$(PP,QQ表示切线),$P Q _ { A }\cap Q P _ { A } = R _ { A } , Q A\cap P _ { A } P = A $.这三点共线.同理$BRR_B,CRR_C$分别共线，证毕.
注：由于 cevapoint(P,Q)= cevapoint(Q,P),因此在该定理中调换P,Q仍得到相同的共点.
反之，根据该定理不难构造出Cevaconjugate(R,P)