Last edited by hbghlyj 2021-6-22 18:53一条线和它等截共轭线的交点不可能在中点三角形内.
将ABC仿射变换为等腰直角三角形,A(0,0),B(1,0),C(0,1)
设E(0,p),F(q,0),则E′(0,1-p),F′(1-q,0),EF与E′F′交于P(x,y),解得$x=\frac{q (-2 p (q-1)+q-1)}{p-q},y=\frac{(p-1) p (2 q-1)}{p-q}$.
假设P在中点三角形内,即$x+y\ge \frac 12\wedge x\le \frac12\wedge y\le \frac 12$,
当p=q时,EF与E'F'平行或重合;
设p>q,化简得$(2 p-1) (2 q-1)\ge0\wedge(2 q-1) (2 p q-p-q)\ge0\wedge-(2 p-1) (2 p q-p-q)\ge0$,
相乘得$-(2pq-p-q)^2\ge0$,所以$p=\frac12\vee q=\frac12\vee 2pq-p-q=0$
若$p=\frac12\vee q=\frac12$,则P=B或P=C.
若$2pq-p-q=0$,则p(q-1)=q(1-p),而左边$\le 0\le $右边,所以$p=q=0\vee p=q=1$,矛盾. |
