求三棱锥体积最大值

isee

在网上找到的深圳某重点高中高一期末模拟卷填空第16题，对普高生还是有“杀伤”力的.

结果：3；3/4；具体过程待补充。

如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，点 $B$ 在以 $A C$ 为直径的圆上运动，$P A \perp$ 平面 $A B C, A D \perp$ $P B$ ，垂足为 $D, D E \perp P C$ ，垂足为 $E$ ，若 $P A=2 \sqrt{3}, A C=2$ ，则 $\frac{P E}{E C}=$___，三棱锥 $P-A D E$ 体积的最大值是___

kuing

只需求 `D` 到平面 `PAC` 的最大距离。

记 `\angle BAC=\theta`，记 `B`, `D` 到平面 `PAC` 的距离分别为 `h_B`, `h_D`，则有
`AB=2\cos\theta`, `h_B=2\sin\theta\cos\theta`, `PB=2\sqrt{\cos^2\theta+3}`，而
\[\frac{h_D}{h_B}=\frac{PD}{PB}=\frac{PA^2}{PB^2},\]代入以上式子得到
\[h_D=\frac{6\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta+3}=\frac{6\sin\theta\cos\theta}{4\cos^2\theta+3\sin^2\theta}\leqslant\frac6{2\sqrt{4\cdot3}}=\frac{\sqrt3}2,\]下略。

isee

回复 2# kuing


    我可以偷会懒了，不有用写过程了。我以三角形ABC的三边a,b,c来写的，最后利用均值不等式求最大值，大同小异。

乌贼

回复 2# kuing
正相反，锁定$ PE $为定值，$PE\perp ADE$，即求$ \triangle ADE  $的最大值，又$ \angle ADE=90 \du $，所以$ AD=DE $时最大(取等成立)

kuing

回复 4# 乌贼

嗯，你的简单。
PS、从不同角度看，不算“正相反”吧