n阶可导函数在无限集上为零在闭区间上不恒为零

abababa

$f(x)$是定义在$[a,b]$上的$n$阶可导函数，并且$f(x)$在一个无限集$S\subset[a,b]$上值为零，但在任意闭区间$[c,d]\subset[a,b]$上不恒为零。求证存在单调点列$c_n$，使得当$n\to\infty$时$\abs{f^{(n)}(c_n)}\to\infty$。

这是不是和泰勒公式有什么关系？看到n阶可导就想到能不能写成泰勒公式的形式，但往下还是没有思路。

Czhang271828

回复 1# abababa

不大明白$n$是常量还是变量, 所以暂时无法解答.

所有零点在有限区间内必有聚点, 你可以试着研究该聚点邻域的泰勒展开(然后你可能就会了)

abababa

回复 2# Czhang271828
因为$n$可以趋向于无穷，那么这个$f(x)$就是无穷次可微函数吧，那它是不是应该像一个幂级数那样？然后$n$就是变量吧，要证明的就是存在单调点列$c_n$使得$\lim_{n\to\infty}\abs{f^{(n)}(c_n)}=\infty$。

零点集在闭区间上的凝聚点$c$还在闭区间里，$n$阶可导说明它得在这点连续,但导完之后还剩下一个余项，怎么趋于无穷还是想不到。

Czhang271828

回复 3# abababa

暂时没想到什么, 但我觉得$e^{-1/x}\sin(1/x)$($[0,1]$上)是反例.

光滑和Taylor展开没有必然联系, 比如定义在$[0,1]$上的函数$e^{-1/x}$就不存在$0$点处的Taylor展开(各阶导数为$0$).

上边所有函数在$x=0$处定理就是取极限.

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更正: 上述例子并非反例, 是我想错了

abababa

回复 4# Czhang271828

确实，这个我后来想到了，无穷次可导也不一定能展开成泰勒级数的形式。原来还知道个泰勒，这一提醒，现在我对这题一点思路都没有了。

Czhang271828

回复 5# abababa

有个想法: 将$f$看作周期为$b-a$的函数, 若
$$
\limsup_{n\in\mathbb N\\x\in(a,b)}|f^{(n)}(x)|
$$
有有穷的上确界, 则在$\mathbb R$可进行Fourier展开. 由于$f$在$(a，b)$上可微, 故Fourier级数在$(a,b)$上收敛至原函数. 记
$$
f(x)\sim\sum_{n\in\mathbb Z} a_n e^{i2\pi n \frac{x-a}{b-a}}
$$
由于$f(x)$在$x\in\mathbb R$时取值实数, 从而$a_n=\overline {a_{-n}}$.

可见$f$为某一函数的全纯函数的实部, 故调和. 又因零点分布存在聚点, 从而$f$恒为$0$，矛盾!