`\tan 3\theta=\tan \theta \tan 2\theta\tan 4\theta`

isee

若`\theta`为锐角满足`\tan 3\theta=\tan\theta\tan 2\theta\tan 4\theta`，则`\theta=`______________.

isee

知乎上看到的，是一道选择题，这里把选项删除了。

很久不见三角函数中3倍角公式了，熟知`\tan 3\theta=\tan (\pi/3-\theta)\tan\theta\tan (\pi/3+\theta)`，结合已知有\[6\theta=\pm\frac {2\pi}3+k\pi,k\in \mathrm Z,\]于是\[\theta=\frac {\pi}9,\frac {4\pi}9,\frac {2\pi}9.\]

PS：注意：结果过程有大幅省略，不严谨

kuing

切化弦
\[\sin3x\cos x\cos2x\cos4x=\cos3x\sin x\sin2x\sin4x,\]两两积化和差
\[(\sin4x+\sin2x)(\cos6x+\cos2x)=(\sin4x-\sin2x)(-\cos6x+\cos2x),\]展开化简为
\[\sin4x\cos6x+\sin2x\cos2x=0,\]即
\[\sin4x\left( \cos6x+\frac12 \right)=0,\]如果 `\sin4x=0`，由 `x` 为锐角，只能 `x=45\du`，但原式有 `\tan2x`，不允许，所以只剩下 `\cos6x=-1/2`，得到 `6x=120\du`, `240\du`, `480\du`，即 `x=20\du`, `40\du`, `80\du`。