多项式改变一次项和常数项系数，是否必出现过整根

abababa

给定多项式$f(x)=x^2+10x+20$，每次可以将常数项加或减$1$，得到一个新多项式，也可以将一次项系数加或减$1$，得到一个新多项式，这两个操作每次只能选择一个，不能同时进行。

操作若干次后，多项式变成了$x^2+20x+10$。问在操作过程中，是否必定出现过这样一个多项式，它有一个整数根。

isee

回复 1# abababa

存在啊，如`x^2-9x+20`

kuing

回复 2# isee

题意理解错了吧，他问的是是否无论怎么操作都必出现过。
如果想要否定它，就得找到完全没出现整数根的操作。

isee

回复 3# kuing


   哈哈哈哈哈，不是只是存在即可啊

kuing

换一种直观表达方式：
设 `p`, `q` 为整数，使多项式 `x^2+px+q` 有整数根的坐标 `(p,q)` 称为“整根点”。
问题就是：由 `(10,20)` 沿着网格走到 `(20,10)`，有没有可能避开所有“整根点”？

这种问法是否更有吸引力一点？

isee

回复 5# kuing

我认为是的，但是依然没“动力”去尝试~哈哈哈哈哈哈

abababa

网友提示用介值定理去做，我代入了$x=-1$，两个多项式值分别是$11$和$-9$，也就是说如果连续变化的话，那中间肯定是经过了零值，那$-1$就是整数根吧。就是这个零点会不会正好是整数系数，并且是要求的那种操作下的。

yao4015

考虑直线： $l: p=q+1$. 注意到
1. 点 $(10,20),(20,10)$ 位于直线 $l$ 的两侧。
2. 直线 $l$ 上的每一个整点 $(p,q)=(t+1, t)$ 对应的二次多项式为$x^2+(t+1)x+t=(x+1)(x+t)$ 都有整数根。
根据以上两点，不可能存在一条路径从$(10,20)$走到$(20,10)$ 不经过“整根点”.

abababa

回复 7# abababa
将$x=-1$代入得$f(-1)=11, g(-1)=-9$。当$x=-1$时，对常数项的每次操作只能使多项式的值改变$1$，对一次项$ax$的每次操作，只能使其变为$(a\pm1)x$，当$x = -1$时改变量为$(a\pm1)x-ax=\pm x=\pm1$，所以对一次项的每次操作也只能使多项式的值改变$1$。
多项式的值由$f(-1)=11$变为$g(-1)=-9$，中间是不是必经过$h(-1)=0$呢？这要是连续的就必定经过，但现在只是整数，改变量为最小单位$1$，虽然看上去是显然的，但这是不是一个定理呢？

abababa

回复 8# yao4015

这个$y=x+1$，就是我在9楼里找到的那个$x=-1$吧，但这个证明也是用了直观的在直线两侧，要想连上两点就必须和直线相交，那这个怎么证明呢？

yao4015

回复 10# abababa

数学中最危险的词： “显然”。 上面这个就是显然。

大佬最帅

介值定理有个推理叫零点定理，这个说明的就是这个问题

abababa

回复 12# 大佬最帅

但那是对连续函数才能用的定理，这里的增量是正负1，不是连续的，虽然我也觉得它是对的，但必须得证明才行。

大佬最帅

任取一条连接两点的曲线（p(t),q(t)），令f(t)=p(t)-q(t)-1，两边f的符号不同，再用介值定理

大佬最帅

二次函数是连续函数，从1变到2的过程是连续的，你只是取了整数值而已，并没有破坏函数变化的连续性，

abababa

回复 15# 大佬最帅

那个$f(t)$不是连续的吧，因为这里$p(t),q(t)$都只能变动正负1，不能变动分数之类的，这是题目里要求的。