证明一个恒等式

TSC999

已知 $m, ~ n$ 均为正整数，证明下面的恒等式：
\[
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} m^{\frac{n+1}{2}}\left(n-2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+\frac{m+1}{4} m^{\frac{n}{2}}\left(1-\left(n-2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)\right) \equiv\left(m^{\lfloor(n+1) / 2\rfloor}+m ^{\lfloor(n+2) / 2\rfloor}\right) / 4 。 \\
& \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor,\lfloor(n+1) / 2\rfloor, ~\lfloor(n+2) / 2\rfloor \text { 分别表示 } \frac{n}{2}, ~(n+1) / 2, ~(n+2) / 2 \text { 的整数部分。 }
\end{aligned}
\]

kuing

分 n 的奇偶两种情况讨论不就行了么，很简单啊

tommywong

好睇啲可以寫成
$m^{\frac{n}{2}}\left(
\frac{\sqrt{m}}{2}\left(2\{\frac{n}{2}\}\right)
+\frac{m+1}{4}\left(2\{\frac{n+1}{2}\}\right)\right)
=m^\frac{n}{2}\left(\frac{\sqrt{m}}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)^{2\{\frac{n+1}{2}\}}
+\frac{m}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)^{2\{\frac{n}{2}\}}\right)$

咁就可以明白到條式有幾咁無聊