简单的整除问题推理，绕晕了

aishuxue

已知$a$, $b$为整数，且$3|4\cdot\dfrac{a}{b}$，则$3|\dfrac{a}{b}$.

aishuxue

某个同事的推理过程如下：
因为(3,4)=1，则$3|\dfrac{a}{b}$

kuing

显然不成立啊，比如a=3,b=4

aishuxue

于是
\[
a_n=(n-1)\left[\left(\frac{a_2}{2}-1\right) n+2\right]
\]
故
\[
a_{1999}=1998 \cdot\left[\left(\frac{a_2}{2}-1\right) \cdot 1999+2\right]
\]
由 $2000 \mid a_{1999}$ 得
\[
1000 \left\lvert\, 999\left[\left(\frac{a_2}{2}-1\right) \cdot 1999+2\right]\right.
\]
因为 $(1000,999)=1$ ，所以 $1000 \left\lvert\,\left(\frac{a_2}{2}-1\right) \cdot 1999+2\right.$
于是 $a_2$ 为偶数，可设 $a_2=2 m$ ，则
\[
1000 \mid(m-1) \cdot 1999+2
\]
是不是得要先说明中括号部分是整数才行，也就是得要先说明$a_2$为偶数才行？

aishuxue

回复 3# kuing


  照片中的过程是把$a_2$为偶数作为结论，感觉因果关系乱了啊！

kuing

嗯，该推理不对。
如果原题已规定 a2 是整数，那还可以补救。
由于中括号内的分母为 2，如果不是整数，那小数部分就是 0.5，乘以 999 依然是 0.5，不可能被 1000 整除，所以中括号部分必然为整数，即 a2/2*1999 为整数，即 a2 为偶数。

isee

回复 6# kuing


   楼主只截了后半段，题设并没有截出来，你这也是合理推测啦

aishuxue

谢谢Kuing