不等式问题

大佬最帅

求解此题

kuing

更强式（最佳系数）：
\[\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\sqrt2}8\left( 1+\frac ab \right)\left( 1+\frac bc \right)\left( 1+\frac ca \right)\geqslant1+\sqrt2.\]
证明：易知不等式等价于
\[\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\sqrt2}8\cdot\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}\geqslant1+\frac98\sqrt2,\]由齐次性不妨设 `a+b+c=1`，令 `ab+bc+ca=(1-q^2)/3`, `q\in[0,1)`，则由 pqr 定理有
\[abc\leqslant\frac{(1-q)^2(1+2q)}{27},\]所以只需证
\[\frac{\frac{1-q^2}3}{1-2\cdot\frac{1-q^2}3}+\frac{\sqrt2}8\cdot\frac{\frac{1-q^2}3}{\frac{(1-q)^2(1+2q)}{27}}\geqslant1+\frac98\sqrt2,\]通分因式分解为
\[\frac{3\bigl( 4+3\sqrt2 \bigr)\bigl( 2q+4-3\sqrt2 \bigr)^2q^2}{8(1-q)(2q+1)\left( 2q^2+1 \right)}\geqslant0,\]显然成立。

hbghlyj

kuing 发表于 2021-7-17 12:04
则由 pqr 定理有

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cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/3variable.pdf
On a class of three-variable inequalities, Vo Quoc Ba Can