(原创) 三元三次不等式

yao4015

(原创) $x,y,z$ 是非负实数，证明
$$x^3+2y^3+3z^3\geq 3(x-z)(x+2y)z.$$

kuing

按 `x` 整理，等价于
\[x^3-3zx^2-3z(2y-z)x+2y^3+6yz^2+3z^3\geqslant0,\]为消二次项令 `x=z+t`，代入化简后变成证明
\[f(t)=t^3-6yzt+2(y^3+2z^3)\geqslant0\quad \forall t\in[-z,+\infty),\]因为
\[f(-z)=2y^3+6yz^2+3z^3\geqslant0,\]且三次项系数为正，所以在 `(-\infty,-z]` 上有根，而其三次判别式为
\[\Delta=(-2yz)^3+(y^3+2z^3)^2=(y^3-2z^3)^2\geqslant0,\]故在 `(-z,+\infty)` 上无根或一个重根，所以在 `[-z,+\infty)` 上恒非负，原不等式得证。

注：三次方程 `x^3+px+q=0` 的判别式为 `\Delta=(p/3)^3+(q/2)^2`。
当 `\Delta<0` 时有三个不相等的实根；
当 `\Delta=0` 时有三个实根且至少两个相等（三个都相等的其实只有 `p=q=0`）；
当 `\Delta>0` 时有一个实根，两个复根。

yao4015

回复 2# kuing

$x^3+2y^3+4z^3=x^3+(\sqrt[3]{2}y)^3+(\sqrt[3]{4}z)^3\geq 6xyz$

这是专门设计出来的系数。

要点是：只需讨论 $x\geq z$即可， 因为$x< z$显然成立。然后代换，然后就是上面的均值不等式。

kuing

回复 3# yao4015

好吧……我变出 f(t) 之后竟然没注意到这一点……