向量最值

2009

kuing

消 `\bm a` 变成 `\cos\langle4\bm b+\bm c,\bm b+\bm c\rangle=5/13`，然后画图：

图中 `\vv{CB}=\bm b`, `\vv{CD}=4\bm b`, `\vv{OC}=\bm c`，则 `\cos\angle BOD=5/13`，在 `OC` 上取 `E` 使 `BE\px OD`，则 `OC=4OE`，即 `E` 为定点，且 `\angle OBE=\angle BOD` 为定值，故 `B` 的轨迹是圆，下略。

kuing

代数解法也来一发吧，主要是还能用上均值

为方便书写记 `x=\bm b^2`, `y=\bm b\cdot\bm c`, `z=\bm c^2`，由 `\cos\langle4\bm b+\bm c,\bm b+\bm c\rangle=5/13` 得
\[\frac5{13}=\frac{(4\bm b+\bm c)\cdot(\bm b+\bm c)}{\abs{4\bm b+\bm c}\cdot\abs{\bm b+\bm c}}=\frac{4x+5y+z}{\sqrt{16x+8y+z}\sqrt{x+2y+z}},\]待定正数 `k`，则均值有
\begin{align*}
4x+5y+z&=\frac5{13}\sqrt{16x+8y+z}\sqrt{x+2y+z}\\
&=\frac5{13k}\sqrt{16x+8y+z}\sqrt{k^2(x+2y+z)}\\
&\leqslant\frac5{26k}\bigl(16x+8y+z+k^2(x+2y+z)\bigr),
\end{align*}为消去 `x`，令
\[\frac{5(16+k^2)}{26k}=4\riff k_1=20,k_2=\frac45,\]取 `k_1` 化简得 `32y+33z\geqslant0`，取 `k_2` 化简得 `32y+7z\leqslant0`，代回条件即 `z=32`，得 `-33\leqslant y\leqslant-7`，取等略。

其妙

这儿一道向量题

走走看看

总感觉B的极限位置在O上，这样，bc=-32。

其妙

回复 4# 其妙
解答在此：toutiao.com/w/a1714376411748372/?log_from=ac1 … 92e988_1644473319269

走走看看

回复 6# 其妙

谢谢  其妙！

您的解答很巧妙。

走走看看

回复 3# kuing

这种解答绝妙！

Kuing的2楼的几何法，如何对下解呢？