二次函数的零点在两整数之间的最小值与1/4的大小关系

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已知二次函数$f(x)=x^2+px+q$通过点$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$．若存在整数$n$，使$n<\alpha<\beta<n＋1$，则$\min\{f(n)，f(n＋1)\}$与$\frac 14$的大小关系为(　B　)

A．$\min\{f(n)，f(n＋1)\}>\frac 14$
B．$\min\{f(n)，f(n＋1)\}<\frac 14$
C．$\min\{f(n)，f(n＋1)\}=\frac 14$       
D．不能确定，与$n$的具体取值有关

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这肯定是一道陈题了。不过，还有难度的，记录一下.

相邻两整数，决定了$f(n),f(n+1)\in(0,1)$，依题`f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)，`于是\[f(n)f(n+1)=(\alpha-n)(\beta-n)(n+1-\alpha)(n+1-\beta)<\left(\frac{\alpha-n+\beta-n+n+1-\alpha+n+1-\beta}4\right)^4=\frac 1{16},\]于是选B.